Dạng 1: dãy số có giới hạn bằng định nghĩa có đáp án

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án

Dạng 1: dãy số có giới hạn bằng định nghĩa có đáp án

604 lượt thi
30 câu hỏi
50 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

a, $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{3 n + 2} .$

Xem đáp án

a) Với mỗi số dương tùy ý cho trước, ta có

$|u_{n}| = |\frac{{(- 1)}^{n}}{3 n + 2}| = \frac{1}{3 n + 2} < \frac{1}{3 n} < ε$

$\Leftrightarrow n > \frac{1}{3} (\frac{1}{ε} - 2) .$

Đặt $n_{0} = 1 + [\frac{1}{3 ε}]$ thì $n_{0} \in ℕ^{*}$ và $|u_{n}| < ε, \forall n \geq n_{0} .$

Vậy $\lim u_{n} = 0.$

Câu 2:

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

b, $u_{n} = \frac{\sin 4 n}{n + 3} .$

Xem đáp án

b) Ta có $\forall n \in ℕ^{*}$ thì

$|\sin 4 n| \leq 1 \Rightarrow |u_{n}| = |\frac{\sin 4 n}{n + 3}| \leq |\frac{1}{n + 3}| \leq |\frac{1}{n}| = \frac{1}{n} .$

Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ " ta được $\lim \frac{1}{n} = 0.$

Từ đó suy ra

\lim u_{n} = 0.

Câu 3:

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

$u_{n} = \frac{1 + \sin n^{4}}{4 n + 5} .$

Xem đáp án

Ta có $\forall n \in ℕ^{*}$ thì $|\sin n^{4}| \leq 1 \Rightarrow |u_{n}| = |\frac{1 + \sin n^{4}}{4 n + 5}| \leq |\frac{2}{4 n + 5}| \leq |\frac{2}{4 n}| = \frac{1}{2 n}$ .

Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ ” ta được $\lim \frac{1}{n} = 0.$ Từ đó suy ra $\lim u_{n} = 0.$

Câu 4:

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n - 1}} .$

Xem đáp án

Ta có $|u_{n}| = |\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n + 1}}| \leq \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{5^{n + 1}} < \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2^{n}}, \forall n \in ℕ .$

Vì $\lim \frac{1}{2^{n}} = \lim {(\frac{1}{2})}^{n} = 0.$

Từ đó suy ra $\lim u_{n} = 0.$

Câu 5:

Chứng minh rằng: $\lim \frac{1}{n + 1} = 0.$

Xem đáp án

Ta có $0 < |\frac{1}{n + 1}| < \frac{1}{n}$ và $\lim \frac{1}{n} = 0.$

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan

Các bài thi hot trong chương

Đánh giá trung bình

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án