Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID},\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{JB}$

Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{ID}$

$\iff \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{JI}\iff \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{0}$ hay I trùng với J

Giả sử $\frac{AM}{AB}=k$  suy ra  $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\text{ ; }\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BC}\text{ ; }\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{CA}$

Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm $\Delta ABC$  và $\Delta MNP$

Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$  và $\overrightarrow{G\text{'}M}+\overrightarrow{G\text{'}N}+\overrightarrow{G\text{'}P}=\overrightarrow{0}$  (*)

Ta có $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}M}=k\overrightarrow{AB}$

Tương tự $\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}N}=k\overrightarrow{BC}$

Và $\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}P}=k\overrightarrow{CA}$

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được $\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+3\overrightarrow{GG\text{'}}+\left(\overrightarrow{G\text{'}M}+\overrightarrow{G\text{'}N}+\overrightarrow{G\text{'}P}\right)=k\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

Kết hợp với (*) ta được $\overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{0}$   

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CP}$

 $=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CA}=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{0}$

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

(hình 1.27)

Gọi G là trọng tâm tam giác BC'D suy ra $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC\text{'}}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

 $\iff \overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD\text{'}}+\overrightarrow{B\text{'}B}+\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{DD\text{'}}=\overrightarrow{0}$(1)

Mặt khác theo quy tắc phép trừ và hình bình hành ta có

 $\begin{array}{l}\overrightarrow{B\text{'}B}+\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{D\text{'}D}=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{AC\text{'}}-\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD\text{'}}\right)\\ =\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)-\overrightarrow{AC}-\left(\overrightarrow{AB\text{'}}+\overrightarrow{AD}\text{'}\right)+\overrightarrow{AC}\end{array}$

$=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC\text{'}}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$(2)

Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD\text{'}}=\overrightarrow{0}$  hay G là trọng tâm tam giác $B\text{'}CD\text{'}$

Ta có $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}$

$=\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}A\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}B\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}C\text{'}}\right)$

$=3\overrightarrow{GG\text{'}}+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+\left(\overrightarrow{G\text{'}A}+\overrightarrow{G\text{'}B}+\overrightarrow{G\text{'}C}\right)=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm là

$\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$