Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 25

Đáp án: \[\left[ {20;40} \right)\].

Ta có: \(n = 42\).

Nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là \({Q_1} = {x_{11}}\).

Mà \({x_{11}} \in \left[ {20;40} \right)\).

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là nhóm \[\left[ {20;40} \right)\].

Đáp án: \(\frac{{443}}{{506}}\).

Gọi \(A\) là biến cố “ 4 học sinh lên bảng đều là nam”. Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{C_{15}^4}}{{C_{25}^4}}.\)

Gọi \(B\) là biến cố “ 4 học sinh lên bảng đều là nữ ”. Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{C_{10}^4}}{{C_{25}^4}}.\)

Gọi \(C\) là biến cố cố “ 4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ ”

\(P\left( C \right) = 1 - \left( {P\left( A \right) + P\left( B \right)} \right) = 1 - \left( {\frac{{C_{15}^4}}{{C_{25}^4}} + \frac{{C_{10}^4}}{{C_{25}^4}}} \right) = \frac{{443}}{{506}}.\)

Đáp án: Đúng – Sai – Đúng.

Số trung bình của mẫu số liệu là \(\overline x = \frac{{3 \cdot 12 + 5 \cdot 20 + 7 \cdot 37 + 9 \cdot 21 + 11 \cdot 10}}{{100}} = 6,94\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Nhóm chứa mốt số liệu trên là nhóm \(\left[ {6;8} \right)\).

Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({M_0} = 6 + \frac{{37 - 20}}{{\left( {37 - 20} \right) + \left( {37 - 21} \right)}} \cdot \left( {8 - 6} \right) \approx 7,03\) nên phát biểu thứ hai sai.

Gọi \({x_1}\); \({x_2}\); ….;\({x_{100}}\) là mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \({x_1}\); \({x_2}\); ….;\({x_{100}}\) là\(\frac{1}{2}\left( {{x_{50}} + {x_{51}}} \right).\)

Do \({x_{50}}\) và \({x_{51}}\) thuộc nhóm \(\left[ {6;8} \right)\) nên \({Q_2} = 6 + \frac{{\frac{{2 \cdot 100}}{4} - 32}}{{37}} \cdot \left( {8 - 6} \right) \approx 6,97\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: 303.

Gọi \(A\) là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^8} = 256\).

Rõ ràng nếu nhiều hơn \(4\) đồng xu ngửa thì biến cố \(A\) không xảy ra.

Để biến cố \(A\) xảy ra có các trường hợp sau:

TH1: Có nhiều nhất \(1\) đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là \(1 + 8 = 9\).

TH2: Có \(2\) đồng xu ngửa.

Hai đồng xu ngửa kề nhau: có \(8\) khả năng.

Suy ra số kết quả của trường hợp này là \(C_8^2 - 8 = 20\).

TH3: Có \(3\) đồng xu ngửa.

Cả \(3\) đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả.

Trong \(3\) đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có \(8 \cdot 4 = 32\) kết quả.

Suy ra số kết quả của trường hợp này là \(C_8^3 - 8 - 32 = 16\).

TH4: Có \(4\) đồng xu ngửa.

Trường hợp này có \(2\) kết quả thỏa mãn biến cố \(A\) xảy ra.

Như vậy \(n\left( A \right) = 9 + 20 + 16 + 2 = 47\).

Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là \(P = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{47}}{{256}}\).

Suy ra \(a + b = 303\).

Đáp án: 192.

Phương trình parabol \(v = - {t^2} + 4t + 3\)

Quãng đường vật chuyển động được trong khoảng thời gian 2 h đầu là \(\int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} = \frac{{34}}{3}\).

Quãng đường vật đi được trong 2 h sau là \(\frac{{\left( {7 + 3} \right)2}}{2}\; = \;10\).

Vây tổng quãng đường vật đi được trong 4 h là \(\frac{{34}}{3} + 10 = \frac{{64}}{3}\).

Suy ra \(a = 64;b = 3\). Do đó \(ab = 192\).

Đáp án: 61.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên \(AA'\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\).

Chọn điểm \(A\) trên đường thẳng \(AA'\).

Ta có: \(AH \bot BC\) và \(AH \bot BB'\), suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(AH\).

Xét tam giác \(ABC\), ta có: Diện tích S = \(\frac{{7\sqrt {51} }}{4}\) , mà S = \(\frac{1}{2}AH \cdot BC \Rightarrow AH = \frac{{7\sqrt {51} }}{{10}}\).

Suy ra \(a = 51;b = 10\). Do đó \(a + b = 61\).

Đáp án: \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).

Hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - 1\), tiệm cận ngang là \(y = 2\) và đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\) nên \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).

Đáp án: Đúng – Sai.

Gọi \(A = \left( C \right) \cap Oy \Rightarrow A\left( {0; - 1} \right)\).

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) có \(k = y'({x_A}) = \frac{3}{{{{\left( {0 + 1} \right)}^2}}} = 3\).

Phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x - 0} \right) - 1 = 3x - 1\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Gọi \(M\left( {{x_0},2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}} \right) \in \left( C \right)\).

Vì \(M\) có tọa độ nguyên khi \({x_0} + 1\) là ước của 3. Hay \({x_0} + 1 \in \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}\).

Có 4 giá trị của \({x_0}\) thỏa mãn nên có 4 điểm \(M\) có tọa độ nguyên nên phát biểu thứ hai sai.