Đáp án A

+ Với m = 0 thì ta có hàm số $y=3x^2-1$ có 3 > 0 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên $\Rightarrow$ hàm số có điểm cực tiểu x = 0.

+ Với $m\ne 0$ ta có hàm trùng phương $y=m{x}^4+(m+3)x^2+2m-1$

$\Rightarrow y\text{'}=4m{x}^3+2(m+3)x=x\left(4m{x}^2+2m+6\right)$; $y\text{'}\text{'}=12m{x}^2+2(m+3)$

Xét phương trình $y\text{'}=0\iff x\left(4m{x}^2+2m+6\right)\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=\frac{-m-3}{2m} \left(2\right)\end{array}\right.$

Nếu hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình y' = 0 có nghiệm x = 0 duy nhất . hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0.

$\iff \frac{-m-3}{2m}\le 0\iff \frac{m+3}{2m}\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}m\le -3\\ m>0\end{array}\right.$

Với m > 0 thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2\left(m+3\right)>0$, do đó x = 0 điểm cực tiểu của hàm số (loại)

Với m < - 3 thì $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2\left(m+3\right)<0$, do đó x = 0 là điểm cực đại (nhận)

Với m = - 3 thì $y\text{'}=-12x^3=0\iff x=0$ và y’ đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm x = 0

Do đó x = 0 là điểm cực đại của hàm số (nhận)

Vậy $m\le -3$

Đáp án C

TXĐ: D = R

$y\text{'}=-x^2+\frac{2}{3}mx\Rightarrow y\text{'}\text{'}=-2x+\frac{2}{3}m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(2\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(2\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-2^2+\frac{2}{3}m.2=0\\ -2.2+\frac{2}{3}m<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}-4+\frac{4}{3}m=0\\ -4+\frac{2}{3}m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m=3\\ m<6\end{array}\right.\iff m=3 \end{gathered}$$

Đáp án D

TXĐ: D = R

Ta có: $y\text{'}=3x^2-4mx+m^2\Rightarrow y\text{'}\text{'}=6x-4m$

Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số thì:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(1\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(1\right)>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+3=0\\ 6-4m>0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m=1;m=3\\ m<\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff m=1 \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}y\text{'}=12x^2+2mx-12\\ y\text{'}\text{'}=24x+2m\end{array}\right.$

Từ giả thiết bài toán ta có $y\text{'}(-2)=48-4m-12=0\iff m=9$

Thay vào $y\text{'}\text{'}\left(-2\right)=-48+2m=-48+18=-30<0$

Khi đó, hàm số đạt cực đại tại x = - 2

Vậy không có giá trị m thỏa mãn.

Đáp án B

$$\begin{gathered} y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3 \\ y\text{'}=3x^2-\left(6m+2\right)x+m^2+3m+2 \end{gathered}$$

Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số y nằm về hai phía của trục tung thì $x_1{x}_2<0$, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình y' = 0

$$\begin{gathered} \iff 3\left(m^2+3m+2\right)<0\iff m^2+3m+2<0 \\ \iff -2<m<-1 \end{gathered}$$