Dạng 1: Hình trụ có đáp án

22 người thi tuần này 4.6 1.4 K lượt thi 17 câu hỏi 45 phút

Câu 1

Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50cm ´ 189cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50cm. Hãy tính: Diện tích tôn để làm hai đáy;

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Vì chiều cao của hình trụ là 50cm nên chu vi hình tròn đáy là C = 189cm.

Ta có $\Rightarrow R = \frac{C}{2 π} = \frac{189}{2 π} \approx 30 (cm)$

Vậy bán kính hình tròn đáy là 30cm.

Diện tích tôn để làm hai đáy là: $S = 2 π R^{2} = 2. π {.30}^{2} = 1800 π$ (cm²).

Câu 2

Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50cm ´ 189cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50cm. Hãy tính: Thể tích của hình trụ được tạo thành

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Thể tích hình trụ là: $V = π R^{2} h = π {.30}^{2} .50 = 45000 π$ (cm³).

Nhận xét: Để trả lời hai câu hỏi của bài toán, ta cần biết bán kính của đường tròn đáy. Muốn vậy, phải xác định cạnh nào của tấm tôn cần giữ nguyên để làm chiều cao của hình trụ, cạnh nào phải cuộn lại. Từ công thức tìm chu vi của hình tròn suy ra cách tìm bán kính.

Câu 3

Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là $1200 π$ cm². Tính thể tích của hình trụ đó.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi bán kính đáy hình trụ là R, chiều cao hình trụ là h.

Vì diện tích toàn phần của hình trụ là $1200 π$ cm² nên $2 π R (h + R) = 1200 π .$

Suy ra $R (25 + R) = 600$ Û $R^{2} + 25 R - 600 = 0$ .

Phương trình có hai nghiệm: $R_{1} = 15$ (chọn); $R_{2} = - 40$ (loại).

Vậy bán kính đáy hình trụ là 15cm.

Thể tích hình trụ là: $V = π R^{2} h = π {.15}^{2} .25 = 5625 π$ (cm³)

Nhận xét: Ta đã biết chiều cao nên muốn tính thể tích hình trụ chỉ cần tìm bán kính đáy. Do đó ta tìm bán kính đáy từ công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ.

Câu 4

Một hình trụ với ABCD là một mặt cắt song song với trục. Diện tích mặt cắt là 96cm², AB = 8cm. Biết tâm O cách AB là 3cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Mặt cắt ABCD là một hình chữ nhật. Diện tích mặt cắt là 96cm² nên AB.AD = 96cm².

Suy ra $A D = \frac{96}{A B} = \frac{96}{8} = 12 (cm)$

Vậy chiều cao của hình trụ là 12cm.

Trong mặt phẳng đáy, vẽ OH ^ AB.

Ta có HA = HB = 8 : 2 = 4 (cm).

Xét DAOH vuông tại H có $O A^{2} = O H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ .

Suy ra OA = 5cm. Vậy bán kính đáy là 5cm.

Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{x q} = 2 π R h = 2. π .5.12 = 120 π$ (cm²).

Thể tích của hình trụ là: $V = π R^{2} h = π {.5}^{2} .12 = 300 π$ (cm³).

Nhận xét: Để xác định đúng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ trong ví dụ này, ta dựa vào mặt cắt ABCD. Từ số đo diện tích là 96cm² và AB = 8cm, ta tìm ra chiều cao. Từ khoảng cách OH = 3cm ta tìm được bán kính nhờ định lí Py-ta-go.

Câu 5

Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng $432 π$ cm² và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy. Chứng minh rằng diện tích xung quanh bằng 10 lần diện tích đáy.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h.

Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy và diện tích toàn phần bằng 432p cm² nên ta có hệ phương trình

$\{\begin{cases} h = 5. R (1) \\ 2 π R (h + R) = 432 π (2) \end{cases}$

Giải hệ này bằng phương pháp thế:

Thế vào phương trình (2) ta được:

$2 π R (5 R + R) = 432 π$ Û R² = 36 Û R = ±6. Giá trị R = -6 bị loại.

Vậy $\{\begin{cases} R = 6 \\ h = 30 \end{cases}$

Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{x q} = 2 π R h = 2. π .6.30 = 360 π$ (cm²).

Diện tích đáy của hình trụ là: $S = π R^{2} = π {.6}^{2} = 36 π$ (cm²).

Ta thấy $\frac{S_{x q}}{S} = \frac{360 π}{36 π} = 10$ (lần).

Do đó diện tích xung quanh gấp 10 lần diện tích đáy.

Câu 6