Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 28)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Định lý cosin trong tam giác.

Lời giải

Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.{\rm{cos}}A\), suy ra \({\rm{cos}}A = \frac{5}{{16}}\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.{\rm{cos}}A = 22,5\).

Đáp án đúng là "21"

Phương pháp giải

Khai triển Newton.

Lời giải

Ta có \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1.x + C_n^2.{x^2} +  \ldots  + C_n^{n - 1}.{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}\).

Số hạng thứ \(k\) và \(k + 1\) theo khai triển trên là \(C_n^{k - 1},C_n^k\) với \(1 \le k \le n;k,n \in \mathbb{N}\).

Theo giả thiết ta có:

\(\frac{{C_n^{k - 1}}}{{C_n^k}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow \frac{k}{{n - k + 1}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow 15k = 7\left( {n - k + 1} \right) \Leftrightarrow 22k = 7\left( {n + 1} \right)\).

Do \(\left( {22;7} \right) = 1\) nên \(n + 1\) chia hết cho 22. Vậy \(n = 22m - 1,m \in \mathbb{N}\).

Vây số nguyên dương \(n\) bé nhất thỏa mãn đề bài là 21.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Giải bất phương trình.

Lời giải

Điều kiện: \(2{x^2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{x \le - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\)

Do \(\sqrt {2{x^2} - 1} \ge 0,\forall x\) nên bất phương trình tương đương với:

\({x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1\).

Kết hợp điều kiện ta được: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < x \le - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }} \le x < 1}\end{array}} \right.\).

Mà \(x\) là số nguyên dương nên không tồn tại \(x\) nguyên dương thoả mãn bất phương trình.

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), khi đó \(M\left( {4;3} \right)\).

Lời giải

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), khi đó \(M\left( {4;3} \right)\).

Với mọi điểm \(C\) ta có: \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {CM} \). Suy ra \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất khi \(\overrightarrow {CM} \) có độ dài ngắn nhất.

\(C\) thuộc trục \(Ox\) sao cho vectơ \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất khi \(\overrightarrow {CM} \) có độ dài ngắn nhất nên \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(Ox\). Vậy \(C\left( {4;0} \right)\)

Vậy \(S = a + b = 4 + 0 = 4\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Công thức tính phương sai

Lời giải

Sản lượng lúa trung bình của 40 thửa ruộng là

\(\overline x = \frac{1}{{40}}\left( {5.20 + 8.21 + 11.22 + 10.23 + 6.24} \right) = 22,1\)

Phương sai của sản lượng lúa của 40 thửa ruộng là

\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{5.20}^2} + {{8.21}^2} + {{11.22}^2} + {{10.23}^2} + {{6.24}^2}} \right) - 22,{1^2} = 1,54\)

Đáp án đúng là "11"

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác.

Lời giải

ĐКХĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x \ne 0}\\{{\rm{cos}}x \ne 0}\end{array}} \right.\).

\(\frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cot}}x}} - \frac{{{\rm{tan}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right) \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{tan}}x{\rm{cot}}x\) \( = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right){\rm{sin}}x{\rm{cot}}x\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 1 = 2\left( {\sin x - \cos x} \right)\cos x \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 1 = 2\sin x.{\rm{cos}}x - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 = {\rm{sin}}2x \Leftrightarrow {\rm{sin}}2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 1}\end{array} \Rightarrow P = 2a + 3b = 2.4 + 3.1 = 11} \right.\).

Phương pháp giải

Tính chất của dãy số

Lời giải

Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_2} = {u_1} + {1^3}}\\{{u_3} = {u_2} + {2^3}}\\ \ldots \\{{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3}}\end{array}{\rm{\;}} \Rightarrow {u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + \ldots + {{(n - 1)}^3}} \right.\).

Lại có \({1^3} + {2^3} + \ldots + {(n - 1)^3} = {(1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1)^2} = {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right)^2}\)

Suy ra \({u_n} = 1 + {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right)^2}\).

Theo yêu cầu đề bài ta có.

\(\sqrt {{u_n} - 1} \ge 55 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \ge 55 \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) \ge 110 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 11}\\{x \le - 10}\end{array}} \right.\).

Mà \(n\) là số nguyên dương nhỏ nhất nên \(n = 11\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit.

Lời giải

Điều kiện: \(x > 1\)

Ta có \(x.{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _4}\left[ {9.{{(x - 1)}^{2m}}} \right] \Leftrightarrow x.{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}3 + m.{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right)\).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right)\)

Ta có phương trình \(\left( {{2^t} + 1} \right).t = {\log _2}3 + m.t\).

Ta thấy \(t = 0\) không là nghiệm của phương trình nên ta có \({2^t} + 1 - \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}{t} = m\)..

Ta đặt \(f\left( t \right) = {2^t} + 1 - \frac{{{{\log }_2}3}}{t} \Rightarrow f'\left( t \right) = {2^t}.{\rm{ln}}2 + \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}{{{t^2}}} > 0,\forall t \ne 0\).

Ta có bảng biến thiên

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\).