Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 22)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định dấu dựa trên các đặc điểm của đồ thị hàm số

Lời giải

Đồ thị quay bề lõm xuống dưới nên \(a < 0\).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\).

Đồ thị có đỉnh có hoành độ dương, mà đỉnh của đồ thị hàm số có hoành độ \( - \frac{{ - b}}{{2a}}\),do \(a < 0\) nên \(b < 0\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lập phương trình từ dữ kiện liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn và đi qua một điểm.

Lời giải

Do phương trình của đường thẳng đi qua \(M\left( { - 4;3} \right)\) nên:

\( - 16 + 3a + b = 0 \Leftrightarrow b = - 3a + 16\)

Do \(d:4x + ay + b = 0\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) nên:

\(d\left( {I\left( {3;4} \right);d} \right) = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {12 + 4a + b} \right|}}{{\sqrt {16 + {a^2}} }} = 5\)

\( \Leftrightarrow \left| {28 + a} \right| = 5\sqrt {16 + {a^2}} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 56a + 784 = 400 + 25{a^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 3}\\{a = \frac{{16}}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Với \(a = - 3 \Rightarrow b = - 3a + 16 = 25 \Rightarrow ab = - 3.25 = - 75\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tính theo định nghĩa xác suất cổ điển.

Lời giải

Số khả năng có thể xảy ra với số chấm trên mặt trên của ba con xúc xắc lần lượt là \(a,b,c\left( {1 \le a,b,c \le 6} \right)\)

Số phần tử của không gian mẫu là \(N\left( {\rm{\Omega }} \right) = {6^3} = 216\).

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra của \(a\) :

     Với \(a = 1\), ta có \(bc = 36 \Rightarrow \left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( {6;6} \right)} \right\}\)

     Với \(a = 2\), ta có \(bc = 18 \Rightarrow \left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( {3;6} \right);\left( {6;3} \right)} \right\}\)

     Với \(a = 3\), ta có \(bc = 12 \Rightarrow \left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( {2;6} \right);\left( {3;4} \right);\left( {4;3} \right);\left( {6;2} \right)} \right\}\)

     Với \(a = 4\), ta có \(bc = 9 \Rightarrow \left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( {3;3} \right)} \right\}\)

     Với \(a = 6\), ta có \(bc = 6 \Rightarrow \left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;2} \right);\left( {6;1} \right)} \right\}\)

Từ đó, ta có thể thấy có tất cả 12 trường hợp có thể xảy ra khi \(abc = 36\).

Xác suất của biến cố "tích số chấm của mặt trên ba con xúc sắc bằng 36" là: \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{216}} = \frac{1}{{18}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng những tính chất liên quan đến các vectơ bằng nhau.

Lời giải

Do \(ABCD\) là hình bình hành có tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm \(\overrightarrow {AC} \), tức là \(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {DC} \).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Kiểm tra các điểm đã cho có thoả mãn tất cả các bất đẳng thức đã cho hay không.

Lời giải

Một điểm nằm trong miền đa giác trên phải thoả mãn tất cả các bất đẳng thức bậc nhất hai ẩn tạo nên đa giác đó.

Kiểm tra tất cả các điểm, ta thấy điểm \(C\left( {4;2} \right)\) không thoả mãn bất đẳng thức \(2x + 3y \le 10\), nên điểm \(C\left( {4;2} \right)\) không nằm trong miền \(\left( D \right)\).

Đáp án đúng là "19"

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \(a.{\rm{sin}}x + b.{\rm{cos}}x = c\) có nghiệm.

Lời giải

Điều kiện để phương trình có nghĩa: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1}\\{m > 0}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{m}{{81}} \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow m \ge 81} \right.\).

Khi đó, để phương trình đã cho có nghiệm thì:

\({\left( {\frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_m}3}}} \right)^2} + {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}m} \right)^2} \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{m}{{81}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m} \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m} \right)^2} \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m - 4\)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m} \right)^2} - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m + 4 \ge 0\)

Dễ thấy (1) luôn đúng với điều kiện \(m \ge 81\), suy ra để phương trình có nghiệm thì \(m \ge 81\)

Vậy có \(99 - 81 + 1 = 19\) số nguyên dương \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Từ công thức truy hồi tìm công thức tổng quát của dãy số

Lời giải

Ta biến đổi công thức truy hồi của dãy số như sau:

\({u_{n + 1}} = 3{u_n} - 6n + {2^n} + 3\)

\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3\left( {n + 1} \right) + {2^{n + 1}} = 3{u_n} - 9n + {3.2^n}\)

\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3\left( {n + 1} \right) + {2^{n + 1}} = 3\left( {{u_n} - 3n + {2^n}} \right)\)

Đặt \({u_n} - 3n + {2^n} = {v_n}\forall n \in {N^{\rm{*}}}\), ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = {u_1} - 3.1 + {2^1} = 4 - 3 + 2 = 3}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}\forall n \in {N^{\rm{*}}}}\end{array} \Rightarrow {v_n} = {3^n}\forall n \in {N^{\rm{*}}}} \right.\)

Khi đó

\({u_n} = {3^n} - {2^n} + 3n\forall n \in {N^{\rm{*}}} \Rightarrow {u_{2024}} = {3^{2024}} - {2^{2024}} + 3.2024\)\( \Rightarrow {u_{2024}} = {81^{506}} - {16^{506}} + 6072\)

Do \({81^{506}}\) có tận cùng là \(1\), \({16^{506}}\) có tận cùng là 6 nên \({u_{2024}} = {81^{506}} - {16^{506}} + 6072\) có tận cùng là 7.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng. Đặt \({u_k}\) là số hạng cần tìm sau đó tìm k.

Lời giải

Ta có: Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_n} + \left( {n - 1} \right)d = 2025 - 5\left( {n - 1} \right)\)

Gọi \({u_k}\) là số hạng đầu tiên nhận gía trị âm, ta có:

\({u_k} = {u_k} + \left( {k - 1} \right)d = 2025 - 5\left( {k - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 2025 < 5k - 5 \Leftrightarrow k > \frac{{2030}}{5} = 406\)

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên ta chọn \(k = 407\).

Vậy bắt đầu số hạng \({u_{407}}\) thì nó nhận giá trị âm