Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 29)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đếm số tập con của tập hợp.

Lời giải

Tập hợp \(S\) có 5 phần tử: \(S = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\).

Xét một tập con của \(S\). Đối với mỗi phần tử trong \(S\), ta có thể lựa chọn phần tử đó nằm trong hoặc không nằm trong tập con đó của \(S\). Khi đó, số tập con của \(S\) có thể là \({2^5} = 32\).

Khi đó, số tập con phân biệt khác rỗng của tập hợp \(S\) là \(32 - 1 = 31\).

Đáp án đúng là "-7"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tích vô hướng.

Lời giải

Có \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {BC} \left( {3;5} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 1.3 + \left( { - 2} \right).5 =  - 7\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Biểu diễn điểm \(G\) theo ba điểm \(A,B,C\).

Lời giải

Gọi \(A\left( {m;n} \right)\). Do \(A\) di động trên đường tròn \({(x - 6)^2} + {y^2} = 25\) nên \({(m - 6)^2} + {n^2} = 25\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), gọi \(G\left( {u;v} \right)\), khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{m + 1 + 5}}{3} = \frac{{m + 6}}{3}}\\{v = {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{n + 5 + 4}}{3} = \frac{{n + 9}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3u - 6}\\{n = 3v - 9}\end{array}} \right.} \right.\).

Do \({(m - 6)^2} + {n^2} = 25 \Rightarrow {(3u - 12)^2} + {(3v - 9)^2} = 25 \Leftrightarrow {(u - 4)^2} + {(v - 3)^2} = \frac{{25}}{9}\)

\( \Rightarrow G\) di động trên đường tròn tâm \(I\left( {4;3} \right)\), bán kính \(R = \frac{5}{3}\).

Vậy \(a + b = 3 + 4 = 7\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xét các trường hợp của ba số được chọn.

Lời giải

Trong các số tự nhiên từ 0 đến 99, có 33 số chia 3 dư 1, 33 số chia 3 dư 2, và 34 số chia hết cho 3.

Khi đó, để tổng ba số tự nhiên được chọn chia hết cho 3, ta xét các trường hợp:

Ÿ Ba số tự nhiên được chọn đều chia hết cho 3. Có \(C_{34}^3\) cách chọn ba số phân biệt trong 34 số tự nhiên chia hết cho 3.

Ÿ Ba số tự nhiên được chọn đều chia cho 3 dư 1. Có \(C_{33}^3\) cách chọn ba số phân biệt trong 33 số tự nhiên chia cho 3 dư 1 .

Ÿ Ba số tự nhiên được chọn đều chia cho 3 dư 2. Có \(C_{33}^3\) cách chọn ba số phân biệt trong 33 số tự nhiên chia cho 3 dư 2.

Ÿ Ba số tự nhiên được chọn có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 dư 2. Có 34.33.33 cách chọn ba số tự nhiên cho trường hợp này.

Từ 4 trường hợp, ta suy ra số cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán là

\(C_{34}^3 + C_{33}^3 + C_{33}^3 + 34.33.33 = 53922\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình: \(3{x^2} - mx \ge 0\).

Ta biến đổi phương trình đã cho:

\(\sqrt {3{x^2} - mx} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 \ge 0}\\{3{x^2} - mx = {{(x - 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{2{x^2} - \left( {m - 6} \right)x - 9 = 0\,\,(2)}\end{array}} \right.} \right.\)

Phương trình (2) có \(ac = - 18 < 0\), do đó phương trình này có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < 0 < {x_2}\).

Khi đó, ta có bảng xét dấu của hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {m - 6} \right)x - 9\) :

Mặt khác, do điều kiện \(x \ge 3\), ta thấy chỉ có duy nhất \({x_2}\) mới có cơ hội trở thành nghiệm của phương trình ban đầu. Khi đó, để \({x_2}\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho trong \(\left[ {2;5} \right]\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} \ge 3}\\{{x_2} \in \left[ {2;5} \right]}\end{array} \Leftrightarrow {x_2} \in \left[ {3;5} \right] \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 3 \right) \le 0}\\{f\left( 5 \right) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 - 3\left( {m - 6} \right) \le 0}\\{41 - 5\left( {m - 6} \right) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 9}\\{m \le \frac{{71}}{5}}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Do \(m\) nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {9;10;11;12;13;14} \right\}\). Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Giải các điều kiện để hàm số đã cho xác định.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}x \ne 0}\\{{\rm{tan}}x \ne - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x \ne \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi }\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left( {\left\{ {\left. {\frac{{ - \pi }}{4} + k\pi } \right|{\rm{\;}}k \in \mathbb{Z}} \right\} \cup \left\{ {\left. {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi } \right|{\rm{\;}}k \in \mathbb{Z}} \right\}} \right)\)

(Lưu ý: hai tập \(\left\{ {\left. {x = \frac{\pi }{2} + k\pi } \right|{\rm{\;}}k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và \(\left\{ {\left. {x = \frac{{ - \pi }}{2} + k\pi } \right|{\rm{\;}}k \in \mathbb{Z}} \right\}\) là một.)

Đáp án đúng là "16"

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ.

Lời giải

Có \[f(x) = \frac{{2\cos 2x - 4\cos x + 1}}{{3 - 2\cos x - {{\sin }^2}x}} = \frac{{2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 4\cos x + 1}}{{3 - 2\cos x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}} = \frac{{4{{\cos }^2}x - 4\cos x - 1}}{{{{\cos }^2}x - 2\cos x + 2}}\]

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).

Đặt \({\rm{cos}}x = t,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Khi đó, ta xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{4{t^2} - 4t - 1}}{{{t^2} - 2t + 2}},t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Có \(g'\left( t \right) = \frac{{ - 4{t^2} + 18t - 10}}{{{{\left( {{t^2} - 2t + 2} \right)}^2}}}\), cho \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 4{t^2} + 18t - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{9 + \sqrt {41} }}{4}}\\{t = \frac{{9 - \sqrt {41} }}{4}}\end{array}} \right.\)

Khi đó, ta có bảng biến thiên của hàm số trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) như sau:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra \(T = \left[ {\frac{{3 - \sqrt {41} }}{2};\frac{7}{5}} \right] \Rightarrow \left[ {5a;5b} \right] = \left[ {\frac{{15 - 5\sqrt {41} }}{2};7} \right]\). Từ đó, ta suy ra \(\left[ {5a;5b} \right]\) có số giá trị nguyên là \(7 - \left( { - 8} \right) + 1 = 16\) giá trị.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số nhân.

Lời giải

Gọi công bội của cấp số nhân đã cho là \(q\).

Có \(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}}} > 1 \Leftrightarrow {q^3} > 1 \Leftrightarrow q > 1\).

Có \({u_3},{u_5},{u_6}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_3} + {u_6} = 2{u_5}\)

\( \Leftrightarrow {u_3} + {u_3}.{q^3} = 2{u_3}.{q^2} \Leftrightarrow {u_3}\left( {{q^3} - 2{q^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {q^3} - 2{q^2} + 1 = 0\) (do \(\left. {{u_n} \ne 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {q - 1} \right)\left( {{q^2} - q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 1\left( l \right)}\\{q = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\{q = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( l \right)}\end{array}} \right.\).

Khi đó, ta có \(S = \frac{{{u_7} - {u_6}}}{{{u_5}}} = \frac{{{u_5}\left( {{q^2} - q} \right)}}{{{u_5}}} = {q^2} - q = 1\).