Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 7)

Đáp án

15.

Giải thích

Ta thấy số học sinh đạt 15 điểm là nhiều nhất (23 bạn) nên mốt của mẫu số liệu là 15.

Đáp án

\(BA \bot \left( {SAD} \right)\).

Giải thích

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\).

Mà \(AB \bot AD\). Từ đó suy ra \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).

Đáp án

lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Giải thích

Hình lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Đáp án

5,25.

Giải thích

Vì độ chính xác \(d = 0,001\) nên ta làm tròn số \(a = 5,2463\) đến hàng phần trăm. Ta được số gần đúng của số \(a = 5,2463\) là 5,25.

Đáp án

104,9 m.

Giải thích

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(B\) có \({\rm{tan}}\widehat {AOB} = \frac{{AB}}{{OB}} \Rightarrow AB = OB.{\rm{tan}}{60^ \circ } = 60\sqrt 3 {\rm{\;m}}\).

Vậy chiều cao của ngọn tháp là \(h = AB + OC = 60\sqrt 3 + 1 \approx 104,9{\rm{\;m}}\).

Đáp án

\( - \frac{1}{6}\).

Giải thích

Ta có: \(D = {\rm{lim}}\left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) - 2{\rm{lim}}\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\)

Mà \({\rm{lim}}\left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) = {\rm{lim}}\frac{{{{\left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} } \right)}^2} - n}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}}{\rm{ = lim}}\frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} = {\rm{lim}}\frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}\)

\({\rm{lim}}\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) = {\rm{lim}}\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}}} \right)}^3} - {n^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\)

\( = {\rm{lim}}\frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\)

\( = {\rm{lim}}\frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} = \frac{1}{3}\)

Vậy \(D = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{6}\).

Đáp án

1

Giải thích

\(PT \Leftrightarrow 5{\rm{sin}}3x = 3{\rm{sin}}5x\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {{\rm{sin}}5x - {\rm{sin}}3x} \right) = {\rm{sin}}5x + {\rm{sin}}3x\)

\( \Leftrightarrow 8{\rm{cos}}4x{\rm{sin}}x = 2{\rm{sin}}4x{\rm{cos}}x\)

\( \Leftrightarrow 4{\rm{cos}}4x{\rm{sin}}x = 2{\rm{sin}}2x{\rm{cos}}2x{\rm{cos}}x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - 1} \right){\rm{sin}}x = {\rm{sin}}x{\rm{cos}}2x{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = 0}\\{\left( {2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - 1} \right) = {\rm{cos}}2x\frac{{\left( {1 + {\rm{cos}}2x} \right)}}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = 0}\\{3{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - {\rm{cos}}2x - 2 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = 0}\\{{\rm{cos}}2x = 1}\\{{\rm{cos}}2x = - \frac{2}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = k\pi }\\{x = \pm \frac{1}{2}{\rm{arccos}}\left( { - \frac{2}{3}} \right) + k\pi }\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra có 1 nghiệm là 0 và 2 nghiệm còn lại đều thuộc \(\left[ {0;\pi } \right)\)

Ta có \({\rm{cos}}2x = - \frac{2}{3} \Rightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 = - \frac{2}{3} \Rightarrow {\rm{cos}}x = \pm \sqrt {\frac{1}{6}} \)

Vậy \({\rm{cos}}A + {\rm{cos}}B + {\rm{cos}}C = 1\)

Đáp án

\(\frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)

Giải thích

Gọi \(M = BC \cap AH\)

Ta có \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\) mà \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow {\rm{BC}} \bot {\rm{OH}}\)

\( \Rightarrow {\rm{BC}} \bot \left( {{\rm{OAH}}} \right) \Rightarrow {\rm{BC}} \bot {\rm{AH}},\,\,{\rm{BC}} \bot {\rm{OM}}\)

Chứng minh tương tự \( \Rightarrow {\rm{H}}\) là trực tập của tam giác ABC

Ta có \(OB \bot OC,OM \bot BC \Rightarrow \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

\(OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot OM\) mà \(OH \bot AM\) (do \(OH \bot \left( {ABC} \right)\))

\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)