Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 2 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \] \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 6y + 6 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \]–4 = 0 (vô lý)

Vậy suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[{d_1}\]: 3x – 2y – 3 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} \) = (3; – 2) và \[{d_2}\]: 6x – 2y – 8 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} \) = (6; – 2).

Ta có: \(\frac{3}{6} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 2}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương.

Do đó đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau.

Ta lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.6 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) = 22 \ne 0\) nên d₁ và d₂ không vuông góc với nhau.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C                   

Phương trình \[{d_1}\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_1} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{4}} \right)\]

Phương trình \[{d_2}\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_2} = \left( {3;4} \right)\]

Ta có: \(\frac{{\frac{1}{3}}}{3} \ne \frac{{ - \frac{1}{4}}}{4}\)\[{\vec n_1};{\vec n_2}\] không cùng phương và \[{\vec n_1} \cdot {\vec n_2}\] = \[\frac{1}{3}\].3 + \[\left( { - \frac{1}{4}} \right)\].4 = 0. Như vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng vuông góc với nhau, suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + mt\\y = - 2 - 2t\end{array} \right.\]có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {m; - 2} \right)\);

Đường thẳng \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 8 + \left( {4 + m} \right)t'\end{array} \right.\] có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;4 + m} \right)\).

Để hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau thì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{4 + m}}\\m.\left( { - 2} \right) + 2.\left( {4 + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m - 4 \ne 0\\ - 2m + 8 + 2m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2 + 2\sqrt 2 ,m \ne - 2 - 2\sqrt 2 \\8 = 0\end{array} \right.\)

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\]có VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (4; – 4) = 4.(1; – 1). Suy ra VTCP của đường thẳng d cũng là vectơ có tọa độ (1; – 1).

Với t = 1 thì \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4.1 = 1\\y = 2 - 4.1 = - 2\end{array} \right.\]. Do đó đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1; – 2).

Vì vậy đường thẳng d trùng với đường thẳng \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = - 2 - t'\end{array} \right.\].