Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng x + 3y – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(1;3\right)$.

Do đường thẳng d song song với đường thẳng x + 3y – 10 = 0 nên $\overrightarrow{n}=\left(1;3\right)$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Khi đó đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(3;-1\right)$.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(3;-1\right)$ và đi qua M(2; 6) có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=6-t\end{array}\right.$.

Với t = 1 ta có $\left\{\begin{array}{l}x=2+3.1=5\\ y=6-1=5\end{array}\right.$, khi đó điểm A(5; 5) thuộc đường thẳng d.

Do đó ta có phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=5-t\end{array}\right.$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có x² + y² – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 có a = m + 1; b = –2 và c = –1.

Để (1) là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0

$\iff$ (m + 1)² + (–2)² – (–1) > 0

$\iff$ (m + 1)² + 5 > 0 (luôn đúng với mọi m).

Khi đó bán kính của đường tròn này là $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ 

Hay R² = (m + 1)² + 5 ≥ 5, với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m + 1 = 0 $\iff$ m = –1.

Vậy đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng $R=\sqrt{5}$ khi m = –1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách mà mỗi tàu đi được so với cảng chính là $100\left|{\overrightarrow{s}}_1\right|$ và $100\left|{\overrightarrow{s}}_2\right|$.

Do đó, quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai là hiệu $100\left|{\overrightarrow{s}}_1\right|-100\left|{\overrightarrow{s}}_2\right|$ và khoảng cách giữa hai tàu là $100\left|{\overrightarrow{s}}_1-{\overrightarrow{s}}_2\right|$.

Ta có ${\overrightarrow{s}}_1=\left(14;-8\right),{\overrightarrow{s}}_2=\left(12;4\right)$ và ${\overrightarrow{s}}_1-{\overrightarrow{s}}_2=\left(2;-12\right)$

Suy ra $\left|{\overrightarrow{s}}_1\right|=\sqrt{{14}^2+{\left(-8\right)}^2}=2\sqrt{65}$ (m);

           $\left|{\overrightarrow{s}}_2\right|=\sqrt{{12}^2+4^2}=4\sqrt{10}$ (m);

            $\left|{\overrightarrow{s}}_1-{\overrightarrow{s}}_2\right|=\sqrt{2^2+{\left(-12\right)}^2}=2\sqrt{37}$ (m).

Vậy quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai là:

$100.2\sqrt{65}-100.4\sqrt{10}\approx 347,54$ (m).

Khoảng cách giữa hai tàu là: $100.2\sqrt{37}\approx 1216,55$ (m).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp và do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{r^2}{36}-\frac{{\left(-25\right)}^2}{49}=1$.

$\iff \frac{r^2}{36}=1+\frac{{\left(-25\right)}^2}{49}=\frac{674}{49}$.

$\iff r^2=\frac{674}{49}.36=\frac{24264}{49}$.

Suy ra $r=\frac{6\sqrt{674}}{7}\approx 22,25$ (m).

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Ta chọn phương án B.