Đề thi Học kì 2 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 10)

$a) \{\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ x - y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 9 \\ y = x - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (3; - 2)

Câu 2/10

b) Giải phương trình: $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1} = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} b) \frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1} = 0 (x \neq \pm 1) \Leftrightarrow \frac{x (x + 1) - 2}{(x - 1) (x + 1)} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array} \end{array}$

Câu 3/10

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị (P): $y = \frac{1}{2} x^{2}$ . Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx + 2m. Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) nói trên.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} = m x + 2 m (*) \Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} - m x - 2 m = 0 \\ Δ = {(- m)}^{2} - 4. \frac{1}{2} . (- 2 m) = m^{2} + 4 > 0 \end{array}$

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm

Vậy không có giá trị của m để (d) tiếp xúc với (P).

Câu 4/10

Cho phương trình (ẩn x): $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 3 = 0 (1)$

a) Giải phương trình (1) khi m = 2.

Xem đáp án

Lời giải

a. Khi m = 2 thì phương trình (1) thành:

$x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 2 + \sqrt{3} \\ x_{2} = 2 - \sqrt{3} \end{array} . S = \{2 \pm \sqrt{3}\}$

Câu 5/10

b) Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Xem đáp án

Lời giải

b. $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 3 = 0 (1) Δ' = {(- m)}^{2} - (m^{2} - 3) = 3 > 0$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Câu 6/10

c) Gọi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ và giá trị m tương ứng

Xem đáp án

Lời giải

c. Khi đó áp dụng định lý Vi et $\Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} x_{2} = m^{2} - 3 \end{cases}$

$A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(2 m)}^{2} - 2 (m^{2} - 3) = 4 m^{2} - 2 m^{2} + 6 = 2 m^{2} + 6$

Vì $2 m^{2} \geq 0 (\forall m) \Rightarrow 2 m^{2} + 6 \geq 6$ (với mọi m)

Vậy Min A = 6 khi m = 0

Câu 7/10