Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có M là trung điểm của cạnh BC.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\ - 1 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}2 = {x_B} + {x_C}\\ - 2 = {y_B} + {y_C}\end{array} \right.\)

Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\0 = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}2 = {x_A} + {x_B} + {x_C}\\0 = {y_A} + {y_B} + {y_C}\end{array} \right.\)

Thế x_B + x_C = 2 vào x_A + x_B + x_C = 2, ta được: x_A + 2 = 2.

Suy ra x_A = 0.

Thế y_B + y_C = –2 vào y_A + y_B + y_C = 0, ta được: y_A – 2 = 0.

Suy ra y_A = 2.

Do đó tọa độ A(0; 2).

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có I là trung điểm của AB.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{3 - 9}}{2} = - 3\end{array} \right.\)

Do đó tọa độ I(1; –3).

Vì vậy \(\overrightarrow {CI} = \left( { - 4; - 2} \right)\).

Suy ra \( - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} = \left( { - \frac{1}{2}.\left( { - 4} \right); - \frac{1}{2}.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;1} \right)\).

Gọi M(x_M; y_M). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - 3;{y_M} - 3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 3 = 2\\{y_M} - 3 = 1\end{array} \right.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 5\\{y_M} = 4\end{array} \right.\)

Vì vậy M(5; 4).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Kẻ AH ⊥ BC tại H.

Ta có:

⦁ \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right)\). Suy ra \(\frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right);\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{ - 3}}{4}} \right)\);

⦁ \(\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y - 1} \right)\).

Ta có S_ABC = 4S_ABM

Suy ra \(\frac{1}{2}AH.BC = 4.\frac{1}{2}AH.BM\)

Do đó BC = 4BM

Vì vậy \(BM = \frac{1}{4}BC\)

Suy ra \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - \frac{3}{4}\\y - 1 = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{4}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Suy ra \({x^2} - {y^2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{13}}{8}\).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right),\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {a + 1;b + 2} \right)\).

Vì E di động trên đường thẳng AB nên ba điểm A, E, B thẳng hàng.

Tức là, \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB} \)         

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 4k\\b + 2 = 4k\end{array} \right.\)

Do đó a + 1 = b + 2

Vì vậy a = b + 1.

Khi đó tọa độ E(b + 1; b).

Ta có:

⦁ \(\overrightarrow {EA} = \left( { - 2 - b; - 2 - b} \right)\).

Suy ra \(2\overrightarrow {EA} = \left( {2\left( { - 2 - b} \right);2\left( { - 2 - b} \right)} \right) = \left( { - 4 - 2b; - 4 - 2b} \right)\);

⦁ \(\overrightarrow {EB} = \left( {2 - b;2 - b} \right)\).

Suy ra \(3\overrightarrow {EB} = \left( {3\left( {2 - b} \right);3\left( {2 - b} \right)} \right) = \left( {6 - 3b;6 - 3b} \right)\);

⦁ \(\overrightarrow {EC} = \left( {3 - b; - 1 - b} \right)\).

Suy ra,

\(2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \left( { - 4 - 2b + 6 - 3b - 3 + b; - 4 - 2b + 6 - 3b + 1 + b} \right) = \left( { - 4b - 1; - 4b + 3} \right)\).

Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4b - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4b + 3} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {16{b^2} + 8b + 1 + 16{b^2} - 24b + 9} = \sqrt {2\left( {16{b^2} - 8b + 1} \right) + 8} \)

\( = \sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \).

Ta có (4b – 1)² ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.

Suy ra 2(4b – 1)² ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.

Khi đó 2(4b – 1)² + 8 ≥ 8, ∀b ∈ ℝ.

Vì vậy \(\sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\,\,\forall b \in \mathbb{R}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}\).

Vậy \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(b = \frac{1}{4}\).

Với \(b = \frac{1}{4}\), ta có \(a = b + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\).

Vậy \(ab = \frac{5}{4}.\frac{1}{4} = \frac{5}{{16}}\).

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi $\overrightarrow{F}$ là lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \).

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ, với x và y được tính bằng đơn vị Newton.

Ta có:

⦁ \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( {100;0} \right)\).

⦁ \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 120^\circ \). Suy ra tọa độ \(\overrightarrow {{F_2}} = \left( {100.\cos 60^\circ ;100.\sin 60^\circ } \right) = \left( {50;50\sqrt 3 } \right)\).

Do đó, lực tổng hợp \(\overrightarrow F \) của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có tọa độ là:

\(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \left( {100 + 50;0 + 50\sqrt 3 } \right) = \left( {150;50\sqrt 3 } \right)\).

Vì vậy cường độ của lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) là: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{150}^2} + {{\left( {50\sqrt 3 } \right)}^2}} = 100\sqrt 3 \,\,\,\left( N \right)\).

Vậy ta chọn phương án D.