Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của (P) có dạng: y² = 2px (p > 0)

Vì (P) có đường chuẩn ∆ : x + 4 = 0 hay x = −4 ⇒ $\frac{-p}{2}=-4$ ⇔ p = 8

Do đó phương trình chính tắc của (P) là: y² = 16x

Gọi M(x₀; y₀). Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M; ∆) = MF = 5

⇔ $\frac{\left|x_0+4\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5$

⇔ $\left|x_0+4\right|=5$ 

⇔ $\left[\begin{array}{l}{x}_0+4=5\\ x_0+4=-5\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_0=-9\end{array}\right.$ 

Với x₀ = – 9 ta có: y₀² = 16 .(– 9) = – 144 (vô lí)

Với x₀ = 1 ta có: y₀² = 16.1 = 16 ⇔ $\left[\begin{array}{l}{y}_0=-4\\ y_0=4\end{array}\right.$

Vậy M (1; 4) hoặc M(1; – 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ trong đó a, b > 0

Vì (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có : c = 5 ⇒ a² + b² = c² = 25

 ⇔ a² = 25 – b²

Vì (H) đi qua điểm M(3$\sqrt{2}$; −4) nên ta có: $\frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}{a^2}-\frac{4^2}{b^2}=1$ ⇔ $\frac{18}{a^2}-\frac{16}{b^2}=1$         (1)

Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t . Thay vào (1) ta được:$\frac{18}{25-t}-\frac{16}{t}=1$ (t ≠ 25)

                                                                         ⇔ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

                                                                         ⇔ t² + 9t – 400 = 0 ⇒ $\left[\begin{array}{l}t=16\\ t=-25\end{array}\right.$

Với điều kiện t > 0 thì t = - 25 không thoả mãn

Với t = 16 thì b² = 16 và a² = 25 – 16 = 9

Vậy phương trình đường thẳng hypebol (H) là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì điểm C thuộc (P) nên C$\left(\frac{c^2}{4};c\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$; $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{c^2}{4};c+4\right)$

Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 0

⇔ $-6.\frac{c^2}{4}+8(c+4)=0$

⇔ $\frac{-3}{2}{c}^2+8c+32=0$

⇔$\left[\begin{array}{l}c=8\\ c=\frac{-8}{3}\end{array}\right.$

Với c = 8 thì C(16; 8)

Với c = $\frac{-8}{3}$ thì C$\left(\frac{16}{9};\frac{-8}{3}\right)$

Vậy điểm C cần tìm có toạ độ là: C(16; 8) hoặc C$\left(\frac{16}{9};\frac{-8}{3}\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ ⇒ a² = 100 và b² = 36 . Do đó: c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{100-36}=8$

Khi đó, tiêu điểm F₁ (−8; 0)

⇒ Đường thẳng d // Oy và đi qua F₁ (−8; 0) là x = −8

Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x=-8\\ \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\end{array}\right.$ 

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=-8\\ \frac{64}{100}+\frac{y^2}{36}=1\end{array}\right.$ ⇒$\left\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=\pm \frac{18}{5}\end{array}\right.$ 

Vậy toạ độ hai điểm M và N lần lượt là: M$\left(-8;\frac{18}{5}\right)$ và N$\left(-8;-\frac{18}{5}\right)$

⇒ MN = $\sqrt{{(-8+8)}^2+{\left(\frac{18}{5}+\frac{18}{5}\right)}^2}=\frac{36}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 9x² + 16y² = 144 ⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Khi đó: a = 4; b = 3; c = $\sqrt{7}$.

⇒ F₁ (−$\sqrt{7}$;0); F₂ ($\sqrt{7}$; 0); F₁F₂ = 2c = 2$\sqrt{7}$; MF₁ + MF₂ = 8

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MF₁F₂ ta có:

F₁F₂² = MF₁² + MF₂² − 2MF₁. MF₂. cos$\widehat{F_{1}M{F}_2}$ 

⇔ 28 = MF₁² + MF₂² − 2MF₁. MF₂. cos60º

⇔ 28 = MF₁² + MF₂² − MF₁. MF₂

⇔ MF₁² + MF₂² + 2MF₁. MF₂ − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ (MF₁ + MF₂)² − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ 64 − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ MF₁. MF₂ = 12.