Thi Online Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 2. Định lý côsin và định lý sin có đáp án
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức, hệ thức liên quan có đáp án
-
1239 lượt thi
-
12 câu hỏi
-
30 phút
Câu 1:
Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
Chứng minh rằng: a = b.cos C + c.cos B.
Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
Chứng minh rằng: a = b.cos C + c.cos B.
Hướng dẫn giải:
Theo định lý cô sin ta có \[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\].
\( \Rightarrow c.\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\) (1)
Lại có \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\)\( \Rightarrow b\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}}\) (2)
Từ (1) và (2) cộng vế với vế ta được: \(b.\cos C + c.\cos B = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\).
Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.
Câu 2:
Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và \({a^2} = 2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)\). Chứng minh rằng: \({\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C} \right)\).
Hướng dẫn giải
Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{{c^2}}}{{{{\sin }^2}C}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\) (1)
Thay \({a^2} = 2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)\) vào (1) ta được:
\(\frac{{2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\)
Suy ra \({\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C} \right)\).
Câu 3:
Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2A = sinB.sinC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Áp dụng định lý hệ quả sin ta có \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\), \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\), \(\sin C = \frac{c}{{2R}}\).
Do đó ta có: sin2A = sinB.sinC \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = bc\).
Câu 4:
Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Theo định lí sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
Suy ra \(\sin A = \frac{{a.\sin C}}{c}\); \(\sin B = \frac{{b.\sin C}}{c}\).
Lại có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\); \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\).
Do đó: \[\tan A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\frac{{a.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}\]
\[\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{{\frac{{b.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}\].
Vậy \[\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}\].
Câu 5:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Diện tích tam giác AMN là: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN.\sin \widehat {MAN}\).
Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}\).
Do \(\widehat {MAN} = \widehat {BAC}\) (hai góc trùng nhau)
Nên \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}\).
Bài thi liên quan:
Dạng 1: Xác định các cạnh và góc chưa biết trong tam giác có đáp án
12 câu hỏi 30 phút
Dạng 4: Các cách tính diện tích tam giác có đáp án
12 câu hỏi 30 phút
Dạng 5: Chứng minh dạng tam giác (vuông, nhọn, tù) có đáp án
14 câu hỏi 30 phút
Các bài thi hot trong chương:
( 1.6 K lượt thi )
( 1.2 K lượt thi )
( 2.3 K lượt thi )
( 2.2 K lượt thi )
( 2.2 K lượt thi )
( 1.3 K lượt thi )
( 1.3 K lượt thi )
Đánh giá trung bình
0%
0%
0%
0%
0%