Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do M ∈ d nên M(t; 1 + 2t)

Theo giả thiết M cách đều hai điểm A, B nên MA = MB

⇔ $\sqrt{{(t+2)}^2+{(2t-1)}^2}$ = $\sqrt{{(t-4)}^2+{(2t+7)}^2}$

⇔ ${(t+2)}^2+{(2t-1)}^2$ = ${(t-4)}^2+{(2t+7)}^2$

⇔ t² + 4t + 4 + 4t² – 4t + 1 = t² – 8t + 16 + 4t² + 28t + 49

⇔ 5t +15 = 0

⇔ t = −3

Với t = −3 thì M(−3; −5)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ = 2(1; 1)

Đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow{u}=(1;1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=(1;1)$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=t\end{array}\right.$.

Vì điểm D thuộc đường thẳng AB nên toạ độ điểm M có dạng D(−1 + t; t).

Ta có: CD = $\sqrt{{(t-4)}^2+{(t-3)}^2}$= 5

       ⇔ ${(t-4)}^2+{(t-3)}^2$ = 25

      ⇔ 2t² – 14t = 0

      ⇔$\left[\begin{array}{l}t=0\\ t=7\end{array}\right.$.

Với 2 giá trị của t tương ứng có 2 toạ độ của điểm D thoả mãn là: D₁(− 1; 0) , D₂(6; 7).        

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của AC nên I(3; 3)

Theo tính chất của hình vuông ta có: AC ∩ BD = I

⇒ Điểm I(3; 3) thuộc BD

Ta có: $\overrightarrow{AC}=(2;4)$

Mặt khác ta có: AC vuông góc với BD ( Vì ABCD là hình vuông) nên đường chéo BD nhận $\overrightarrow{AC}$ làm vectơ pháp tuyến,

Vậy phương trình đường chéo BD đi qua điểm I(3; 3) và có $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=(1;2)$ làm vectơ pháp tuyến là: 1(x – 3) + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + 2y – 9 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì B(x₁; y₁) ∈ d₁ ⇒ B(– 5 – y₁; y₁)

Tương tự ta có: C( 7 – 2y₂; y₂)

Vì tam giác ABC nhận điểm G(2; 0) là trọng tâm nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B+x_C=3x_G\\ y_A+y_B+y_C=3y_G\end{array}\right.$  

⇒$\left\{\begin{array}{l}2+(-5-y_1)+(7-2y_2)=6\\ 3+y_1+y_2=0\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}{y}_1+2y_2=-2\\ y_1+y_2=-3\end{array}\right.$ 

⇒$\left\{\begin{array}{l}{y}_1=-4\\ y_2=1\end{array}\right.$  

⇒$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=5\end{array}\right.$

Vậy T = (− 1).5 + (−4).1= −9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2; 2) = 2(1; 1).

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(1; 2) nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến (vì AB ⊥ BC) là: x – 1 + y – 2 = 0 ⇔ x + y – 3 = 0.

Vì C thuộc đường thẳng BC nên C(t ; 3 – t) (t > 0).

Khi đó $\overrightarrow{BC}$ = (t – 1; 1 – t) ⇒ BC = $\sqrt{{\left(t-1\right)}^2+{\left(1-t\right)}^2}$= $\sqrt{2}\left|t-1\right|$

$\overrightarrow{AB}$ = (2; 2) ⇒ AB = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Ta lại có AB = BC ⇔ $\sqrt{2}\left|t-1\right|=2\sqrt{2}$

⇔ |t – 1| = 2

⇔ t – 1 = 2 hoặc t – 1 = – 2

⇔ t = 3 (thỏa mãn) hoặc t = – 1 (loại)

Vậy tọa độ điểm C là (3; 0).