Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 3.

Vì ∆ tiếp xúc với (C) nên ta có d(O, ∆) = R.

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 + 3.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 3\)

⇔ |m| = 15

⇔ m = 15 hoặc m = –15.

Vậy m = 15 hoặc m = –15 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C).

Kẻ IH ⊥ d. Suy ra H là trung điểm MN. Khi đó \(HN = \frac{1}{2}MN\).

∆IHN vuông tại H: IN² = IH² + HN² (Định lí Pytago)

\( \Leftrightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2} = {R^2} - I{H^2}\)

Dây cung MN ngắn nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất. Tức là IA ≡ IH hay A ≡ H.

Khi đó IA ⊥ d.

Suy ra d nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng d đi qua A(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\).

Suy ra phương trình d: 1(x – 3) – 1(y – 2) = 0

⇔ x – y – 1 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 3), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 5} = \sqrt 5 \).

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {1;2} \right)\).

Vì ∆ // d nên ∆ nhận \({\vec n_d} = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình ∆ có dạng: x + 2y + c = 0.

Vì d là tiếp tuyến của (C) nên d(I, ∆) = R.

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 + 2.3 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \sqrt 5 \)

⇔ |c + 5| = 5

⇔ c + 5 = 5 hoặc c + 5 = –5

⇔ c = 0 hoặc c = –10.

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến d thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là: x + 2y = 0 hoặc x + 2y – 10 = 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Ta có IA² = IB² = R².

\( \Leftrightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\)

⇔ 4a = 4b

⇔ a = b.

Khi đó tọa độ I(a; a).

Vì I(a; a) ∈ d nên 2a – a + 7 = 0

⇔ a = –7.

Suy ra I(–7; –7).

Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 7} \right)}^2} + {{\left( {3 + 7} \right)}^2}} = 2\sqrt {41} \).

Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 7)² + (y + 7)² = 164.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình (C_m) có dạng: x² + y² – 2ax – 2y + c = 0, với \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = m + 2\\ - 2b = - \left( {m + 4} \right)\\c = m + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{m + 2}}{2}\\b = \frac{{m + 4}}{2}\\c = m + 1\end{array} \right.\)

Để (C_m) là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0.

\( \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{m + 4}}{2}} \right)^2} - m - 1 > 0\)

⇔ m² + 4m + 4 + m² + 8m + 16 – 4m – 4 > 0

⇔ 2m² + 8m + 16 > 0, ∀m ∈ ℝ.

Khi đó (C_m) luôn là đường tròn, với mọi giá trị của m.

Đường tròn (C_m) có tâm I có tọa độ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{m + 2}}{2}\\y = \frac{{m + 4}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = - m - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2y = m + 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được 2x + 2y = –m – 2 + m + 4

⇔ 2x + 2y – 2 = 0

⇔ x + y – 1 = 0.

Vậy khi m thay đổi, tâm của đường tròn (C_m) luôn nằm trên đường thẳng có phương trình x + y – 1 = 0.