5000 câu trắc nghiệm tổng hợp Toán 2026 mới nhất (có đáp án) - Phần 2

Lời giải:

Gọi x là số sản phẩm người đó phải làm theo kế hoạch, điều kiện: x \( \in \mathbb{N}*\).

Dự kiến, người đó làm xong công việc trong \(\frac{{\rm{x}}}{{60}}\) (ngày).

Thực tế người đó làm được x + 40 sản phẩm.

Thực tế, người đó hoàn thành công việc trong \(\frac{{{\rm{x}} + 40}}{{80}}\) (ngày).

Do người đó hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{\rm{x}}}{{60}} - \frac{{{\rm{x}} + 40}}{{80}} = 2\)

80x – 60(x + 40) = 9 600

x = 600 (thỏa mãn).

Vậy số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch là 600 sản phẩm.

Lời giải:

a) |sin⁴ x – cos⁴ x|

= |(sin² x + cos² x)(sin² x – cos² x)|

= |sin² x – cos² x|

= |(sin x – cos x)(sin x + cos x)|

= |m(sin x – cos x)|.

Ta có: (sin x + cos x)² = sin² x + 2sinxcosx + cos² x nên 2sinxcosx = m² – 1.

Do đó, (sin x – cos x)² = 1 – m² + 1 = 2 – m² nên | sin x – cos x| = \(\sqrt {2 - {{\rm{m}}^2}} \).

Suy ra: |sin⁴ x – cos⁴ x| = |m| \(\sqrt {2 - {{\rm{m}}^2}} \).

b) Ta có: (sin x – cos x)² = 2 – m².

Vì (sin x – cos x)² ≥ 0 nên 2 – m² ≥ 0 suy ra m² ≤ 2 nên |m| ≤ \(\sqrt 2 \).

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng x + y = 0 (d) trên mặt phẳng tọa độ.

Ta thấy điểm A(1; 1) không thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 0 nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng (d) (kể cả đường thẳng (d)) không chứa điểm A.

b) Vẽ đường thẳng x – y = 0 (d’) trên mặt phẳng tọa độ.

Ta thấy điểm B(1; 0) thỏa mãn bất phương trình x – y ≥ 0 nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng (d’) (kể cả đường thẳng (d’)) chứa điểm B.

Lời giải:

5cos x – 2 = 0 Û cos x \( = \frac{2}{5}\)Û x = arccos\(\frac{2}{5}\) + k2π, \({\rm{k}} \in \mathbb{Z}\).

+ Với x = arccos\(\frac{2}{5}\) + k2π:

Vì x Î (0, 2π) nên 0 < arccos\(\frac{2}{5}\) + k2π < 2π => $\frac{-\arccos \frac{2}{5}}{2\text{π}}<\text{k}<\frac{2\text{π}-\arccos \frac{2}{5}}{2\text{π}}$

Vì k là số nguyên nên k = 0. Do đó, x = \(\arccos \frac{2}{5}\).

+ Với x = – arccos\(\frac{2}{5}\) + k2π:

Vì x Î (0, 2π) nên 0 < – arccos\(\frac{2}{5}\) + k2π < 2π => $\frac{\arccos \frac{2}{5}}{2\text{π}}<\text{k}<\frac{2\text{π + }\arccos \frac{2}{5}}{2\text{π}}$

Mà k là số nguyên nên k = 1. Do đó, x = –\(\arccos \frac{2}{5}\) + 2π.

Do đó, tổng các nghiệm thuộc khoảng (0, 2π) là: \(\arccos \frac{2}{5}\) + –\(\arccos \frac{2}{5}\) + 2π = 2π.

Lời giải:

S_{máng nước} \( = \frac{1}{2} \cdot \left( {{\rm{AB}} + {\rm{CD}}} \right) \cdot {\rm{BH}}\).

Xét DBHC vuông tại H: sin x \( = \frac{{{\rm{BH}}}}{{{\rm{BC}}}} \Rightarrow \) BH = BC. sin x = 15sin x.

Ta có: cos x \( = \frac{{{\rm{HC}}}}{{{\rm{BC}}}} \Rightarrow \) HC = BC. cos x = 15cos x = DK.

Þ CD = DK + KH + HC = 15 + 2HC = 15 + 2.15.cos x.

Khi đó: \({\rm{S}} = \frac{1}{2}\left( {15 + 15 + 30\cos {\rm{x}}} \right) \cdot 15\sin {\rm{x}}\)

= 225 (sin x + sin x. cos x)

= 225\(\left( {\sin {\rm{x}} + \frac{1}{2}\sin 2{\rm{x}}} \right)\).

Xét y = sin x + \(\frac{1}{2}\)sin 2x, y’ = cos x + cos 2x.

y’ = 0 Û cos 2x = cos (x + p)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = {\rm{\pi }} + {\rm{k}}2{\rm{\pi }}\;\,\left( {\rm{L}} \right)\\{\rm{x}} = \frac{{ - {\rm{\pi }}}}{3} + \frac{{{\rm{k}}2{\rm{\pi }}}}{3} \Rightarrow {\rm{k}} = 1 \Rightarrow {\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \({\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{3}\) = 60^o thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Xét DABQ vuông tại B, ta có: \(\tan \widehat {{\rm{BQA}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BQ}}}}\) nên tan 42^o \( = \frac{{\rm{h}}}{{{\rm{BQ}}}}\) nên BQ = \(\frac{{\rm{h}}}{{\tan 42^\circ }}\).

Xét DABP vuông tại B, ta có: \(\tan \widehat {{\rm{BPA}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BP}}}}\) nên tan 14^o \( = \frac{{\rm{h}}}{{{\rm{BP}}}}\) nên BP = \(\frac{{\rm{h}}}{{\tan 14^\circ }}.\)

b) Ta có: PQ = BP – BQ nên \(300 = \frac{{\rm{h}}}{{\tan 14^\circ }} - \frac{{\rm{h}}}{{\tan 42^\circ }}\)

\(\frac{{{\rm{h}}\tan 42^\circ - {\rm{h}}\tan 14^\circ }}{{\tan 42^\circ \cdot \tan 14^\circ }} = 300\)

\({\rm{h}} = \frac{{300\tan 42^\circ \cdot \tan 14^\circ }}{{\tan 42^\circ - \tan 14^\circ }} \approx 103,4\;\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Lời giải:

Đáp án D.

Đổi 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ.

Tổng quãng đường kim phút, kim giờ đi được trong 30 phút là:

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{12}} \cdot 2 \cdot 8 \cdot {\rm{\pi }} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10{\rm{\pi }} = \frac{{{\rm{32\pi }}}}{3}\).

Lời giải:

sin x.sin 2x.sin 3x = \(\frac{1}{2}\)sin 4x

Û (sin x.sin 3x).sin 2x = sin 2xcos 2x

Û\(\frac{1}{2}\)(cos 2x – cos 4x)sin 2x = sin 2xcos 2x

Û 2 sin 2xcos 2x + (cos 4x – cos 2x)sin2x = 0

Û sin2x(2cos 2x + cos 4x – cos 2x) = 0

Û sin2x(cos 2x + cos 4x) = 0

Û sin2x.cos 3x. cos x = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2{\rm{x}} = 0\\\cos 3{\rm{x}} = 0\\\cos {\rm{x}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = {\rm{k\pi }}\\{\rm{3x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{k\pi }}\\{\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{k\pi }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{{{\rm{k\pi }}}}{2}\\{\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{6} + \frac{{{\rm{k\pi }}}}{3}\\{\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{k\pi }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{{{\rm{k\pi }}}}{2}\\{\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{6} + \frac{{{\rm{k\pi }}}}{3}\end{array} \right.\;\,\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\).

Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm \({\rm{x}} = \frac{{{\rm{k\pi }}}}{2}\) là \({\rm{x}} = - \frac{{\rm{\pi }}}{2}\).

Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm \({\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{6} + \frac{{{\rm{k\pi }}}}{3}\) là \({\rm{x}} = - \frac{{\rm{\pi }}}{6}\).

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \({\rm{x}} = - \frac{{\rm{\pi }}}{6}\).