Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (P2) (Vận dụng- Vận dụng cao)

Thi Online Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (Nhận biết)

Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (P2) (Vận dụng- Vận dụng cao)

5089 lượt thi
10 câu hỏi
30 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ là

A. $2 + (x + 1) \ln 5 + C$

B. $- \ln 5 + C$

C. $2 x - (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C$

D. $2 x + (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C$

Xem đáp án

Đáp án C

$x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x^{2} + 2 x - 3)}^{'} = f (x) {.5}^{\frac{x}{2}} \\ \Leftrightarrow 2 x + 2 = f (x) {.5}^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow f (x) = \frac{2 x + 2}{5^{\frac{x}{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = {(\frac{2 x + 2}{5^{\frac{x}{2}}})}^{'} = \frac{{2.5}^{\frac{x}{2}} - (2 x + 2) (\frac{1}{2} {.5}^{\frac{x}{2}} . \ln 5)}{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}} = \frac{2 - (x + 1) \ln 5}{5^{\frac{x}{2}}} \\ \Rightarrow f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}} = 2 - (x + 1) \ln 5 \end{array}$

$\Rightarrow \int f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}} d x = \int [2 - (x + 1) \ln 5] d x = 2 x - (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C .$

Câu 2:

Cho hàm số thỏa mãn $f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π); f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ . Tìm $\int f (x) d x$

A. $\frac{1}{12} (\sin 2 x - \sin 4 x) + C$

B. $\frac{1}{12} (2 \sin 2 x + \sin 4 x) + C$

C. $\frac{1}{12} (\sin 4 x - 2 \sin 2 x) + C$

D. $\frac{1}{12} (2 \sin 2 x - \sin 4 x) + C$

Xem đáp án

Đáp án D

Tacó:

$f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π)$

$\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) \sin x - f (x) c o s x}{\sin^{2} x} = 2 c o s 3 x$

$\Rightarrow {(\frac{f (x)}{\sin x})}^{'} = 2 c o s 3 x \Rightarrow \frac{f (x)}{\sin x} = \int 2 c o s 3 x dx$

$\Rightarrow \frac{f (x)}{\sin x} = \frac{2}{3} \sin 3 x + C_{1}$

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3} \Rightarrow C_{1} = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} s i n x . \sin 3 x$

$\Rightarrow \int f (x) d x = \int \frac{2}{3} s i n x . \sin 3 x d x = \frac{1}{3} \int (c o s 2 x - \cos 4 x) dx$

$= \frac{1}{12} (2 \sin 2 x - \sin 4 x) + C$

Câu 3:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết $x + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) . e^{x}$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) e^{x}$ là

A. $\cos x - \sin x + x + C$

B. $- \cos x + \sin x + x + C$

C. $\cos x - \sin x - x + C$

D. $- \cos x - \sin x - x + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int f (x) e^{x} d x = x + \sin x + C \Rightarrow f (x) . e^{x} = 1 + \cos x (1)$

Lấy đạo hàm hai vế của ta được

$f^{'} (x) . e^{x} + f (x) . e^{x} = - \sin x \Leftrightarrow f^{'} (x) . e^{x} = - \sin x - \cos x - 1$

Vậy ta có $\int f^{'} (x) . e^{x} d x = - \int (\sin x + \cos x + 1) d x = \cos x - \sin x - x + C$

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = \{\begin{cases} e^{x} khi x \geq 0 \\ e^{- x} khi x < 0 \end{cases}$ và $f (4) = e$ . Đặt $S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $0 < S < 1$

B. $- 3 < S < - 2$

C. $- 2 < S < - 1$

D. $- 4 < S < - 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} + C_{1} khi x \geq 0 \\ - e^{- x} + C_{2} khi x < 0 \end{cases}$ với $C_{1}$ và $C_{2}$ là các hằng số thực.

$f (4) = e \Rightarrow C_{1} = e - e^{4}$

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1 + e - e^{4}$

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1 + C_{2}$

Do hàm số có đạo hàm $\forall x \in ℝ \Rightarrow$ Hàm số liên tục trên $ℝ$ .

$\Rightarrow - 1 + C_{2} = 1 + e - e^{4} = f (0) \Rightarrow C_{2} = 2 + e - e^{4}$

Vậy $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} + e - e^{4} khi x \geq 0 \\ - e^{- x} + 2 + e - e^{4} khi x < 0 \end{cases}$

$S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200 = \frac{49}{6} + 4 e - 4 e^{4} + 200 \approx 0, 6$

Câu 5:

Tìm nguyên hàm $I = \int \frac{x^{2002}}{{(x + 2)}^{2005}} d x$

A. $\frac{1}{4} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} - \frac{1}{4} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

B. $\frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} + \frac{1}{8016} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

C. $\frac{1}{8008} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2002} - \frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} + C$

D. $\frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} - \frac{1}{8016} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

Xem đáp án

Đáp án D

$I = \int \frac{x^{2002}}{{(x + 2)}^{2005}} d x = \int {(\frac{x}{x + 2})}^{2002} . \frac{1}{x + 2} . \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Đặt $t = \frac{x}{x + 2} \Rightarrow d t = \frac{2. d x}{{(x + 2)}^{2}}$

$I = \int t^{2002} . \frac{1 - t}{2} . \frac{d t}{2} = \frac{1}{4} \int (t^{2002} - t^{2003}) . d t = \frac{1}{8012} . t^{2003} - \frac{1}{8016} . t^{2004} + C$