206 câu Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P2)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^4+x^2$ và $y=3x^2-1$

Cho f(x) liên tục trên $\left[0;5\right]$ thỏa mãn ${\int }_0^{5}f\left(x\right)dx=5, {\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=1$, khi đó giá trị của $P={\int }_0^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_3^{5}f\left(x\right)dx$ là:

Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx=1$. Khi đó giá trị của tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ là:

Cho tích phân $I={\int }_2^3\frac{dx}{x\sqrt{x^3+1}}$. Xác định 3a+b biết $I=a\ln (29-2\sqrt{27})+b\ln 3+a\ln 2$

Biết rằng $x^3+\sqrt{x}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Hỏi đa thức $6x-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$ là gì của hàm số f(x) ?

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m/s) thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left(t\right)=-4t+a (m/s)$ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được 32 mét thì vận tốc a ban đầu bằng bao nhiêu?

Cho số thực dương a, kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=4(x-a)e^x$, trục hoành và trục tung. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành, tìm a biết $V=4\mathrm{\pi }({\mathrm{e}}^2-5)$.

Nguyên hàm của hàm số $y=e^{-2x+1}$ là:

Tích phân $I={\int }_1^{2}x\ln xdx$ có giá trị bằng:

Giả sử f(x) là hàm liên tục trên R và các số thực a < b < c. Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu số $a\in (0;10\mathrm{\pi })$ sao cho ${\int }_0^a{\sin }^{3}x.\sin 2xsx=\frac{2}{5}$?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\left|x\right|$, trục tung, trục hoành và đường thẳng x=1 là:

 F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{\cos x}{1+\sin x}$, biết F(0)=1. Tìm F(x).

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc am/s². Biết ôtô chuyển động được thêm 30m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?

Họ nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=-\frac{2}{x}+\frac{1}{2^x}$ với $x\ne 0$ là:

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=x^2+2\cos 2x-3$ thỏa mãn đồ thị của F(x), f(x) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.

Nếu ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\sin }^{n}x.\cos xdx=\frac{1}{48}$ thì n bằng:

Tính tích phân ${\int }_0^a\frac{1}{x^2-1}dx$ với a>1, $a\in \mathrm{ℝ}$.

Hàm số nào sau đây có đạo hàm là $y\text{'}=2^x\ln 2+3x^2?$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{ax}$ (a>0), trục hoành và đường thẳng x=a bằng $k{a}^2, (k\in \mathrm{ℝ})$. Tính giá trị của tham số k.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=x\ln x$, trục hoành, đường thẳng $x=\frac{1}{2}$. Tính diện tích hình phẳng (H).

Tìm a để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\frac{3}{x}$ đường thẳng x=1 đường thẳng x=a (a>1) bằng 3.

Nếu ${\int }_1^2\frac{1}{(x-3)(x-4)}dx=\ln \left(m\right)$ thì m bằng:

Cho hình phẳng (H) nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ (IV), được giới hạn bởi các đường $y=(x-1)e^x$, trục hoành, trục tung. Thể tích V hình tròn xoay sinh bởi (H) khi quay  (H) quanh trục Ox.

Biết ${\int }_{}^{}x\ln (x-1)dx$$=\frac{1}{m}{x}^2\ln (1-x)$$-\frac{1}{n}\ln (1-x)$$-\frac{1}{k}{(x+1)}^2+C$. Khi đó:

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos (2x-3)$ là

Biết hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và f(1)=$e^2$, ${\int }_1^{\ln 2}f\text{'}\left(x\right)dx=4-e^2$ Tính f(ln2). 

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x+1}$ .Tìm F(x) biết F(0)=0. 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên $\left[a;b\right]$, trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được tính theo công thức nào sau đây?

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số y=f(x)=xlnx, (x>0) biết rằng F(1)=2.