206 câu Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P7)

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=2sin2xcosx thỏa mãn $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=2$ là

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sin x, y=\cos x, x=0,x=\mathrm{\pi }$. Thể tích vật thể tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành Ox bằng

Một vật đang chuyển động đều với vận tốc 5 m/s thì thay đổi chuyển động với gia tốc $a\left(t\right)=3t^2-6t (m/s^2)$, trong đó t là thời điểm tính từ khi bắt đầu vật thay đổi chuyển động. Vận tốc của vật tại thời điểm t=5s bằng

Biết ${\int }_{32}^{128}\frac{1+{\log }_{2}x}{({{\log }^2}_{2}x-3{\log }_{2}x)x\ln 2}dx$$=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 7$$(a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Q}})$. Giá trị của a+b-c bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f\left(x\right)=6x^{2}f\left(x^3\right)+\frac{3}{\sqrt{3x+1}}$ Giá trị ${\int }_0^2(x+1)f\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$ bằng:

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{-x}+x^2$ là

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=f(x), y=0, x=2a bằng S. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=f(2x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x=0, x=a bằng:

Biết ${\int }_1^3\frac{2+\ln (x+3)}{{(x+1)}^2}dx$$=a\ln 2+b\ln 3+c$$(a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Q}})$. Giá trị 3a-b+2c bằng

Một chất điểm A xuất phát từ O chuyển động với quy luật $s\left(t\right)=a{t}^3+b{t}^2+ct \left(m\right)$, trong đó s(t) là quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian t kể từ thời điểm xuất phát. Cùng thời điểm đó, một chất điểm B ở cách O 30m, đang di chuyển cùng hướng A với vận tốc 10m/s thì lại chuyển động với gia tốc $a\left(t\right)=5-2t (m/s^2)$. Tại thời điểm hai vật gặp nhau, vận tốc chất điểm A bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}/\left\{0\right\}$ và thỏa mãn $2f\left(2x\right)-f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2$, ${\int }_1^{2}xf\text{'}\left(x\right)dx=5$. Giá trị ${\int }_1^{2}f\left(\frac{2}{x}\right)dx$ bằng

Tính $\int \left(\frac{3}{x^2}+2^x\right)dx$

Biết ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=3, {\int }_b^{a}g\left(x\right)dx=5$. Tính $I={\int }_a^b\left[3f\left(x\right)+2g\left(x\right)\right]dx$

Biết rằng ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}(2x+{\cos }^{x}x)dx=a{\mathrm{\pi }}^2+\mathrm{b\pi }+\mathrm{c}$, với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính P=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường$y=-\sqrt{x},y=x,x=4$ . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R, và các tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left[f\text{'}\left(x\right)\right]dx=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$,${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin xf\left(x\right)dx=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Biết rằng f(0)=0 , tính $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thì hàm số y = tan x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, $x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$ và $F\left(2\right)=3+\frac{1}{2}\ln 3$. Tính F(3).

Cho ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=-1$. Khi đó $I={\int }_0^{1}f\left(4x\right)dx$ bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x+2}$, trục hoành và đường thẳng x=2 là.

Xét tích phân $I={\int }_1^{\sqrt{2}}x{e}^{x^2}dx$. Sử dụng phương pháp đổi biến số với $u=x^2$, tích phân I  được biến đổi thành dạng nào sau đây:

Một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=2x^3-3x^2+1-\sin 2x$ khi F(0)=1 là:

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-4x$, trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=4 là:

Nếu ${\int }_0^{10}f\left(z\right)dz=17$ và ${\int }_0^{8}f\left(t\right)dt=12$ thì ${\int }_8^{10}-3f\left(x\right)dx$ bằng:

Cho hàm số y = f(x) và = g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y= f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{x}$ và nửa đường tròn có phương trình $y=\sqrt{4-x^2}$ (với 0 £ x £ 4) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Biết ${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}$$=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c+\frac{1}{2}\ln (3\sqrt{2}-3)$ với a, b, c là các số hữu tỷ.

Tính P = a + b + c.