Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

  • 1571 lượt thi

  • 7 câu hỏi

  • 45 phút

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng d:x+12=y52=z1.Tìm một vectơ chỉ phương u  của đường thẳng D đi qua , vuông góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm  một khoảng bé nhất.

Xem đáp án

Xét  là mặt phẳng qua   .

Mặt phẳng  qua  và có vectơ pháp tuyến  nên có phương trình: .

Gọi  lần lượt là hình chiếu của  lên  D.

Khi đó  nên  đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi .

Đường thẳng  đi qua  và có vectơ chỉ phương  nên  có phương trình tham số là .

 nên .

Lại  nên .

Vậy .

Chọn C.


Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z24x+2y2z3=0  và điểm A5;3;2 . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=AM+4AN .

Xem đáp án

Media VietJack

Mặt cầu S  có tâm I2;1;1 , bán kính R=22+12+123=3 .

Ta có: AI=252+132+1+22=34>R  nên A nằm ngoài mặt cầu S .

Ta lại có: S=AM+4AN .

Đặt AM=x, x343;34+3 .

AM.AN=AI2R2=349=25AN=25AM .

Do đó: S=fx=x+100x  với x343;34+3 .

Ta có: f'x=1100x2=x2100x<0  với x343;34+3 .

Do đó: min343;34+3fx=f34+3=5349 .

Dấu “=” xảy ra A,M,N,I  thẳng hàng và AM=34+3; AN=343 .

Chọn C.


Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu S:x12+y22+z32=36 .

Giá trị nhỏ nhất của AM+2MB bằng

Xem đáp án

Media VietJack

Mặt cầu S:x12+y22+z32=36  có tâm I1;2;3  và bán kính R=6 .

Ta có IA=12=2R .

Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu S  suy ra E là trung điểm của IA nên E5;4;7 .

Gọi F là trung điểm của IE suy ra F3;3;5 .

Xét ΔMIF  ΔAIM  AIM^  chung và IFIM=IMIA=12 .

Suy ra ΔMIFΔAIMc.g.cMAMF=AIMI=2MA=2MF .

Do đó AM+2MB=2MF+MB2BF=229  (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu S .

Chọn C.


0

Đánh giá trung bình

0%

0%

0%

0%

0%

Bình luận


Bình luận