$y = \log_{2} (1 + \sqrt{x}) \Rightarrow y' = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{(1 + \sqrt{x}) . \ln 2} = \frac{1}{\sqrt{x} (1 + \sqrt{x}) . 2 \ln 2} = \frac{1}{\sqrt{x} (1 + \sqrt{x}) . \ln 4}$

Câu 2

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn $\log_{a} b = \frac{3}{2}$ , $\log_{c} d = \frac{5}{4}$ . Nếu a-c=9, thì b-d nhận giá trị nào?

A. 85.

B. 71.

C. 76.

D. 93.

Lời giải

Câu 3

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn [0;2018] sao cho ba số $5^{x + 1} + 5^{1 - x}, \frac{a}{2}, 25^{x} + 25^{- x}$ theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?

A. 2007.

B. 2018.

C. 2006.

D. 2008.

Lời giải

Kết hợp với điều kiện của đề bài $\Rightarrow a \in [12; 2018] \Rightarrow có 2007 giá trị nguyên của a$

Câu 4

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau $3^{2 x + 8} - 4 . 3^{x + 5} + 27 = 0$

A. -5

B. 5

C. $\frac{4}{27}$

D. $\frac{- 4}{27}$

Lời giải

Câu 5

Cho a là số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Lời giải

Câu 6

Phương trình $\log_{2} x + \log_{2} (x - 3) = 2$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải

Câu 7

Cho $\log_{6} 45 = a + \frac{\log_{2} 5 + b}{\log_{2} 3 + c}, a, b, c \in ℤ$ . Tính tổng a+b+c

A. -4

B. 2

C. 0

D. 1

Lời giải

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\sqrt[3]{5})}^{x - 1} < 5^{x + 3}$ là:

Lời giải

Câu 9

Phương trình $\ln (x^{2} + 1) . \ln (x^{2} - 2018) = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Lời giải

Câu 10

Cho hàm số $f (x) = \log_{3} (2 x + 1) .$ Giá trị của $f' (x)$ bằng

A. $\frac{2}{\ln 3}$

B. 2

C. 2ln3

D. 0

Lời giải

Câu 11

Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?

Lời giải

Câu 12

Tích các nghiệm của phương trình $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x + 1} - 36^{x}) = - 2$ bằng

A. 1.

B. 0 và $\log_{6} 5$

C. 5.

D. $\log_{6} 5$

Lời giải

Câu 13

Cho $f (x) = \frac{1}{2} . 5^{2 x + 1}; g (x) = 5^{x} + 4 x . \ln 5 .$ Tập nghiệm của bất phương trình $f' (x) > g' (x)$ là

A. x>1.

B. x>0.

C. 0<x<1.

D. x<0.

Lời giải

Câu 14

Cho $f (x) = \frac{1}{2} . 5^{2 x + 1}; g (x) = 5^{x} + 4 x . \ln 5 .$ Tập nghiệm của bất phương trình $f' (x) > g' (x)$ là

A. x>1.

B. x>0.

C. 0<x<1.

D. x<0.

Lời giải

Câu 15

Cho $f (x) = 2 . 3^{\log_{81} x} + 3$ . Tính f '(1)

Lời giải

Câu 16

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{5}} \frac{4 x + 6}{x} ⩾ 0$ là

Lời giải

Câu 17

Cho $f (x) = x . e^{- 3 x}$ , tập nghiệm của bất phương trình $f' (x) > 0$ là

Lời giải

Câu 18

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{3})}^{\sqrt{x + 2}} > 3^{- x}$ là

A. $(1, 2)$ .

B. $(2, + \infty) .$

C. $[2, + \infty) .$

D. $(1, 2]$

Lời giải

Câu 19

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất $a \log_{3} x^{3} + 4 \sqrt{\log_{3} x^{8}} + a + 1 = 0$ (*)

A. a=1.

B. a<-1.

C. Không tồn tại a.

D. a<1.

Lời giải

$a \log_{3} x^{3} + 4 \sqrt{\log_{3} x^{8}} + a + 1 = 0 (*) . Đ i ề u k i ệ n x > 0 P T (*) \Leftrightarrow 3 a \log_{3} x + 8 \sqrt{2} . \sqrt{\log_{3} x} + a + 1 = 0 (1) Đ ặ t t = \sqrt{\log_{3} x} (t \geq 0) P T (1) \Leftrightarrow 3 a t^{2} + 8 \sqrt{2} . t + a + 1 = 0 T H 1 : a = 0 t h ì P T (1) t r ở t h à n h 8 \sqrt{2} . t + 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{- 1}{8 \sqrt{2}} < 0 (l o ạ i) \Rightarrow Đ ể P T (*) c ó n g h i ệ m d u y n h ấ t t h ì P T (1) c ó n g h i ệ m k é p d ư ơ n g \Leftrightarrow \{\begin{cases} ∆' = 0 \\ \frac{- 8 \sqrt{2}}{3 a} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 a^{2} + 3 a + 32 = 0 \\ a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = \frac{3 - \sqrt{393}}{6} < - 1 c h ọ n a < - 1$