Đáp án B

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(2x-a\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-ax+b\right)}{{\left(x-1\right)}^2} \\ =\frac{x^2-2x+a-b}{{\left(x-1\right)}^2} \end{gathered}$$

Vì C (0; -1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên:

$\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(0\right)=0\\ f\left(0\right)=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a-b=0\\ -b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=1\end{array}\right.$

Thay a = 1, b = 1 ào hàm số ta thấy điểm C (0; - 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy $a=b=1\Rightarrow A+2B=6$

Đáp án B

Gọi hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$

Đồ thị hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ nhận điểm (0; - 1) làm đỉnh và đi qua điểm (1; 1) nên $a=2,b=0,c=-1$ hay $f\left(x\right)=2x^2-1$

Do đó $g\text{'}\left(x\right)=2x^2+m-1$

Hàm số $y=g\left(x\right)$ không có cực trị $\iff g\text{'}\left(x\right)=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\iff m-1\ge 0\iff m\ge 1$

Vậy $m\ge 1$

Đáp án A

Quan sát đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ ta thấy $f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Đặt $g\left(x\right)=f\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)$

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}f\text{'}\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)$

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x+1=0\\ f\text{'}\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ \sqrt{x^2+2x+2}=-1\left(vn\right)\\ \sqrt{x^2+2x+2}=1\left(1\right)\\ \sqrt{x^2+2x+2}=3\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(1\right)\iff x^2+2x+2=1\iff x^2+2x+1=0 \\ \iff {\left(x+1\right)}^2=0\iff x=-1 \\ \left(2\right)\iff x^2+2x+2=9\iff x=-1\pm 2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm bội 2 nên không là cực trị của hàm số $y=g\left(x\right)=f\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)$

Lập BBT của hàm số y = g(x):

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y=g\left(x\right)$ đạt cực đại tại x = - 1

Đáp án C

Ta có: $y=x^3-3x^2+2$

$\Rightarrow y\text{'}=3x^2-6x;y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y\left(0\right)=2\\ x=2\Rightarrow y\left(2\right)=-2\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left(0;2\right),B\left(2;-2\right)$

Gọi $M\in d\Rightarrow M\left(a;a-1\right)$ khi đó 

Mà M cách đều A, B

Suy ra $M{A}^2=M{B}^2$

$\iff a^2+{\left(a-3\right)}^2={\left(a-2\right)}^2+{\left(a+1\right)}^2\iff a=1\Rightarrow M\left(1;0\right)$

Đáp án B

Ta có: $y=x^3-3x^2+2\Rightarrow y\text{'}=3x^2-6x;$

$y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y\left(0\right)=2\\ x=2\Rightarrow y\left(2\right)=-2\end{array}\right.$

Suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M (2; - 2)

Vậy $d\left(M;\left(Oy\right)\right)=2$