Đáp án D

Đặt: $g\left(x\right)=f\left(x\right)-4x$

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)-4, g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=4$

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=4$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ trong đó $x_1=-1$ là nghiệm kép và $x_2>1$ là nghiệm đơn.

$\Rightarrow$ Phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ nhưng $g^{\text{'}}\left(x\right)$ đổi dấu duy nhất 1 lần khi qua nghiệm $x_2$ này. Vậy hàm số $y=f\left(x\right)-4x$ có một điểm cực trị.

Đáp án B

Tập xác định: $D=ℝ$

$y\text{'}=4x^3-4mx=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\iff m>0$

Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số:

$A\left(0;1\right),B\left(\sqrt{m};-m^2+1\right),C\left(-\sqrt{m};-m^2+1\right)$

Theo giả thiết $BC=4\iff 4m=16\iff m=4$ ( thỏa mãn).

Đáp án A

Cách 1: PP tự luận

Ta có $y^{\text{'}}=4x\left(x^2-m-1\right)$

Xét $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m+1\end{array}\right.$. Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì $m>-1$

Tọa độ ba điểm cực trị là $A\left(0;m^2\right),B\left(\sqrt{m+1};-2m-1\right),C\left(-\sqrt{m+1};-2m-1\right)$

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì $H\left(0;-2m-1\right)$

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $AH=BH$

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{{\left(m+1\right)}^4}=\sqrt{m+1}\iff {\left(m+1\right)}^4=m+1 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(tm\right)\\ m=-1\left(ktm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Chú ý: Điều kiện ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân có thể sử dụng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ hoặc $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$.

Cách 2: PP trắc nghiệm

Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có ba điểm cực trị là $ab<0\iff m>-1$

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $b^3+8a=0$ $\iff -8{\left(m+1\right)}^3+8=0\iff m=0$

Đáp án A

Vì hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là x = -2, x = -1, x = 2 và có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ nên f'(x) = 0 có ba nghiệm là x = -2, x = -1, x = 2 (ba nghiệm bội lẻ).

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-2\right)$ có $g^{\text{'}}\left(x\right)=2x.f^{\text{'}}\left(x^2-2\right)$

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ f^{\text{'}}\left(x^2-2\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2-2=-2\\ x^2-2=-1\\ x^2-2=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có các nghiệm bội lẻ $x=\pm 1;x=\pm 2;x=0$ suy ra $g^{\text{'}}\left(x\right)$ đổi dấu năm lần nên hàm số $y=f\left(x^2-2\right)$ có năm điểm cực trị.

Đáp án A

Tập xác định $D=ℝ$

$y^{\text{'}}=4x^3-4\left(m-1\right)x;y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m-1\end{array}\right.$

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m>1\left(*\right)$

Với điều kiện $\left(*\right)$, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A\left(0;m^2-m\right)$, $B\left(\sqrt{m-1};m-1\right)$,$C\left(-\sqrt{m-1};m-1\right)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(\sqrt{m-1};-m^2+2m-1\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-\sqrt{m-1};-m^2+2m-1\right)$.

Dễ thấy tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A

Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\iff -\left(m-1\right)+{\left(m-1\right)}^4=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đối chiều điều kiện $\left(*\right)$ ta có m = 2. Vậy $S=\left\{2\right\}$ nên tổng tất cả các phần tử của S là 2.