Đáp án D

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình:

$$\begin{gathered} x^3+2x^2-x+1=x^2-x+3 \\ \iff x^3+x^2-2=0 \\ \iff \left(x-1\right)\left(x^2+2x+2\right)=0\iff x=1 \end{gathered}$$

Như vậy hai đồ thị có 1 điểm chung

Đáp án C

Nhận xét: dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 3 nên loại đáp án B.

Ngoài cùng bên phải của $y<0\Rightarrow a<0$ nên loại đáp án A.

Thay lần lượt hai điểm (0; - 1) và (2; 3) vào 2 hàm số còn lại

Thay x = 0 vào cả hai hàm số $y=-x^3+3x^2-1$ và $y=-x^3-3x^2-1$ ta thu được $y=-1\Rightarrow \left(0;-1\right)$ đều thuộc vào 2 đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-1$ và $y=-x^3-3x^2-1$

Thay x = 2 vào hàm số $y=-x^3+3x^2-1$ ta được $y=3\Rightarrow \left(2;3\right)$ thuộc vào đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-1$

 Thay x = 2 vào hàm số $y=-x^3-3x^2-1$ ta được $y=-21\Rightarrow \left(2;3\right)$ không thuộc vào đồ thị hàm số $y=-x^3-3x^2-1$

Đáp án C

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0; 1) cố định nên A đúng.

Đồ thị hàm số không có tâm đối xứng nên B đúng.

Có 

$$\begin{gathered} y\text{'}=4a{x}^3+2b^{2}x=2x\left(4a{x}^2+b^2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ 4a{x}^2+b^2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Phương trình $4a{x}^2+b^2=0$ chỉ có thể vô nghiệm nếu $b\ne 0$ và có nghiệm duy nhất x = 0 nếu b = 0

Do đó phương trình y' = 0 chỉ có nghiệm duy nhất x = 0 và y’ đổi dấu qua nghiệm đó nên hàm số chỉ có duy nhất 1 điểm cực trị (cụ thể là điểm cực tiểu) nên C đúng.

D sai vì đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương không có tâm đối xứng

Đáp án C

A sai vì hàm số chỉ nghịch niến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(0;2\right)$

B sai vì hàm số đạt giá trị cực đại là y = 3 tại x = 0.

C đúng vì từ bảng biến thiên ta thấy:

$\underset{R}{\min }f\left(x\right)=0\Rightarrow f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in R$

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $\left(-2;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$

Đáp án D

A sai vì y = 3 là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right),\left(2;+\infty \right)$

C sai vì x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn [0;4] thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng – 1 đạt được tại x = 2