Đáp án B

Xét hàm số hàm số $y=6\sin x-8\cos x+5mx$

Tập xác định: $\mathrm{ℝ}$

Ta có $y^{\text{'}}=6\cos x+8\sin x+5m$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff y^{\text{'}}\ge 0, \forall x\in ℝ\iff 5m\ge -6\cos x-8\sin x, \forall x\in ℝ\left(1\right)$

Cách 1:

Ta lại có:

$$\begin{gathered} {\left(-6\cos x-8\sin x\right)}^2\le \left({\left(-6\right)}^2+{\left(-8\right)}^2\right)\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=100, \forall x\in ℝ \\ \iff -10\le -6\cos x-8\sin x\le 10, \forall x\in ℝ \end{gathered}$$

Do đó $\left(1\right)\iff 5m\ge 10\iff m\ge 2$

Kết hợp với điều kiện $m\le 100$ ta được $2\le m\le 100$

Vì m là số nguyên nên có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Cách 2:

Ta có: $-6\cos x-8\sin x=-10\left[\sin \left(x+\alpha \right)\right]$

Mà $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1, \forall x\in ℝ$

Suy ra: $-10\le -10\left[\sin \left(x+\alpha \right)\right]\le 10, \forall x\in ℝ$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff y^{\text{'}}\ge 0, \forall x\in ℝ\iff 5m\ge \underset{ℝ}{\max }\left(-6\cos x-8\sin x\right)$

$\iff 5m\ge 10\iff m\ge 2$

Kết hợp với điều kiện $m\le 100$ ta được $2\le m\le 100$

Vậy có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Đáp án C

Ta có $y\text{'}=\left(m+2\right)x^2-2\left(m+2\right)x+m-8$

Yêu cầu bài toán $\iff y\text{'}\le 0,\forall x\in ℝ$ ($y\text{'}=0$ có hữu hạn nghiệm):

TH1 ● $m+2=0\iff m=-2$, khi đó $y\text{'}=-10\le 0,\forall x\in ℝ$ (thỏa mãn).

TH2 ● 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a=m+2<0\\ \Delta \text{'}={\left(m+2\right)}^2-\left(m+2\right)\left(m-8\right)\le 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m+2<0\\ 10\left(m+2\right)\le 0\end{array}\right.\iff m<-2 \end{gathered}$$

Hợp hai trường hợp ta được $m\le -2.$

Đáp án A

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-m\right\}$

Tính đạo hàm $y\text{'}=\frac{m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}$

Để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\iff y\text{'}<0\iff m^2-1<0\iff -1<m<1$

Đáp án C

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)-2x=\left(3-x\right)\left(x^2-1\right)+2x-2x=\left(3-x\right)\left(x^2-1\right) \\ {g}^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=\pm 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Bảng xét dấu g'(x):

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1;2)

Đáp án D

Tập xác định: $D=ℝ$

Ta có $y^{\text{'}}=3\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-\left(2m+1\right)$

Xét $m=1$, Ta có $y^{\text{'}}=-3<0\forall x\in ℝ$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Xét $m\ne 1$. Hàm số trên nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}m-1<0\\ {\Delta }^{\text{'}}={\left(m-1\right)}^2+3\left(m-1\right)\left(2m+1\right)\le 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m<1\\ 7m^2-5m-2\le 0\end{array}\right.\iff -\frac{2}{7}\le m<1 \end{gathered}$$

Vậy với $-\frac{2}{7}\le m\le 1$ thì hàm số $y=\left(m-1\right)x^3+\left(m-1\right)x^2-\left(2m+1\right)x+5$ nghịch biến trên tập xác định.