Khi đó $V_{1} = {(\frac{a}{4})}^{2} . a = \frac{a^{3}}{16}$ và $V_{2} = {(\frac{a}{3})}^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{36}$ . Suy ra $k = \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} .$ Chọn C.

Câu 2/10

Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là $6 \sqrt{3} {cm}^{3}$ . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng $2 \sqrt{6} cm$ và cạnh bên bằng $1 cm .$

B. Cạnh đáy bằng $2 \sqrt{3} cm$ và cạnh bên bằng $2 cm .$

C. Cạnh đáy bằng $2 \sqrt{2} cm$ và cạnh bên bằng $3 cm .$

D. Cạnh đáy bằng $4 \sqrt{3} cm$ và cạnh bên bằng $\frac{1}{2} cm .$

Lời giải

Media VietJack

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có độ dài $A B = x, A A^{'} = h .$

Khi đó $S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}$ và $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} h .$

Theo giả thiết $\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} h = 6 \sqrt{3} \Rightarrow h = \frac{24}{x^{2}} .$

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là nhỏ nhất.

Gọi

S_{t p}

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

, ta có

S_{tp} = 2 S_{Δ A B C} + 3 S_{A B B^{'} A^{'}} = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} + 3 h x = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} + \frac{72}{x} .

Khảo sát $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} + \frac{72}{x}$ trên $(0; + \infty)$ , ta được $f (x)$ nhỏ nhất khi $x = 2 \sqrt{3}$ .

Với $x = 2 \sqrt{3} cm \to h = 2 cm.$ Chọn B.

Câu 3/10

Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước $80 cm \times 5 0cm$ . Người ta cắt ở bốn góc của tâm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x (cm)$ , rồi gập tấm nhôm lại thì được một cái thùng không nắp dạng hình hộp. Tính thể tích lớn nhất $V_{\max}$ của hộp tạo thành.

A. $V_{\max} = 18000 {cm}^{3} .$

V_{\max} = 28000 {cm}^{3} .

V_{\max} = 38000 {cm}^{3} .

D. $V_{\max} = 8000 {cm}^{3} .$

Lời giải

Hình hộp được tạo thành có kích thước: chiều dài $80 - 2 x (cm)$ , chiều rộng $50 - 2 x (cm)$ , chiều cao $x (cm)$ .

Suy ra thể tích thùng tạo thành $V = x (80 - 2 x) (50 - 2 x) = 4 x^{3} - 260 x^{2} + 4000 x$ .

Khảo sát $f (x) = 4 x^{3} - 260 x^{2} + 4000 x$ trên $(0; 25)$ , được $\max_{(0; 25)} f (x) = f (10) = 18000 {cm}^{3} .$

Chọn A.

Câu 4/10

Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước $60 cm \times 4 0cm$ . Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng $x cm$ , rồi gập tấm bìa lại để được một hộp có nắp. Tìm $x$ để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. $x = \frac{20}{3} cm.$

B. $x = 4 cm .$

C. $x = 5 cm .$

x = \frac{10}{3} cm .

Lời giải

Các kích thước khối hộp lần lượt là: $\frac{60 - 3 x}{2}; 40 - 2 x; x$ .

Khi đó $V_{hop} = (\frac{60 - 3 x}{2}) (40 - 2 x) x = 3 x^{3} - 120 x^{2} + 1200 x = f (x) .$

Khảo sát hàm $f (x)$ với $0 < x < 20$ , ta được $f (x)$ lớn nhất khi $x = \frac{20}{3} .$

Chọn A.

Câu 5/10

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x (cm)$ , chiều cao là $h (cm)$ và thể tích là $500 {cm}^{3} .$ Tìm độ dài cạnh hình vuông $x$ sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

A. $x = 2 cm.$

x = 3 cm.

x = 5 cm.

x = 10 cm.

Lời giải

Thể tích khối hộp $V = x . x . h = x^{2} h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{x^{2}} .$

Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của hộp (không nắp) $S_{tp} = S_{day} + S_{xung quanh} = x . x + 4. h x = x^{2} + 4 h x$

$x^{2} + 4 x . \frac{500}{x^{2}} = x^{2} + \frac{2000}{x} = x^{2} + \frac{1000}{x} + \frac{1000}{x} \overset{Cosi}{\geq} 3 \sqrt[3]{1000^{2}} .$

Dấu $'' =''$ xảy ra $\Leftrightarrow x^{2} = \frac{1000}{x} = \frac{1000}{x} \Leftrightarrow x^{3} = 1000 \Leftrightarrow x = 10.$ Chọn D.

Cách 2. Xét hàm $f (x) = x^{2} + \frac{2000}{x}$ với $x > 0$ .

Câu 6/10

Một người đã cắt tấm bìa các tông và đặt kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn ấy gấp theo đường nét đứt thành cái hộp hình hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh $a (cm)$ , chiều cao $h (cm)$ và diện tích toàn phần bằng $6 m^{2}$ . Tổng $(a + h)$ bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn nhất.

A. $a + h = 2 cm.$

a + h = 3 cm.

a + h = 4 cm.

a + h = 6 cm.

Lời giải

Diện tích toàn phần $S_{tp} = 4 a h + 2 a^{2} = 6 \Rightarrow h = \frac{6 - 2 a^{2}}{4 a} .$

Thể tích khối hộp chữ nhật: $V = a . a . h = a^{2} . \frac{6 - 2 a^{2}}{4 a} = \frac{6 a - 2 a^{3}}{4} .$

Khảo sát hàm $f (a) = \frac{6 a - 2 a^{3}}{4}$ trên $(0; \sqrt{3})$ , ta được $f (a)$ lớn nhất tại $a = 1.$

Với $a = 1 \to h = 1 \overset{}{\to} a + h = 2 cm.$ Chọn A.

Câu 7/10

Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhôm hình hộp chữ nhật không nắp và có các kích thước $x, y, z (dm)$ . Biết tỉ số hai cạnh đáy là $x : y = 1 : 3$ , thể tích khối hộp bằng $18 {dm}^{3} .$ Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng $x + y + z$ bằng:

A. $10 dm.$

\frac{19}{2} dm.

26 dm.

\frac{26}{3} dm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/10

Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao là 60cm, thể tích $96000 {cm}^{3}$ . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/m² và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m². Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.

A. 320.000 đồng.

B. 32.000 đồng.

C. 83.200 đồng.

D. 68.800 đồng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/10

Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp như hình vẽ. Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy $x$ của hình chóp bằng:

A. $x = \frac{\sqrt{2}}{5} .$

x = \frac{2 \sqrt{2}}{5} .

C. $x = 2 \sqrt{2} .$

x = \frac{2}{5} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/10

Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là $1152 m^{2}$ và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).

16 m \times 24 m

8 m \times 48 m

12 m \times 32 m

24 m \times 32 m

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 4/10 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là $6 \sqrt{3} {cm}^{3}$ . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?