Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 2: Các vấn đề về góc có đáp án

Thi Online Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 2: Các vấn đề về góc có đáp án

1686 lượt thi
8 câu hỏi
45 phút

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ . Biết $∆$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại $A, M$ thuộc $∆$ sao cho $A M = 2 \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

A. $\sqrt{2}$ .

B. 2.

\sqrt{3}

D. 3.

Xem đáp án

Đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 4)$ .

Mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ có vectơ chỉ phương $\vec{n} = (1; 1; - 2)$ .

$\sin (Δ, (P)) = |\cos (\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} . \vec{n}|}{|\vec{u}| . |\vec{n}|} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \sin φ$

Suy ra $d (M, Δ) = M H = M A . \sin φ = 2 \sqrt{3} . \sqrt{\frac{1}{3}} = 2$ .

Chọn B.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P) : x - z . \sin α + \cos α = 0; (Q) : y - z . \cos α - \sin α = 0; α \in (0; \frac{π}{2})$ .

Góc giữa d và trục Oz là:

A. $30 °$ .

45 °

60 °

90 °

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(P)}} = (1; 0; - \sin α)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(Q)}} = (0; 1; - \cos α)$ .

d là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d là:

$\vec{u_{(d)}} = [\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}] = (\sin α; \cos α; 1)$

Vectơ chỉ phương của (Oz) là $\vec{u_{(O z)}} = (0; 0; 1)$ .

Suy ra $\cos (d, O z) = \frac{|0. \sin α + 0. \cos α + 1.1|}{\sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α + 1^{2}} . \sqrt{0 + 0 + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (d, O z) = 45 °$ .

Vậy góc giữa d và trục $(O z)$ là $45 °$ .

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 3 = 0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x - 1}{- 4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}$ .

\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{3}

\frac{x + 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{- 3}

\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{_{(P)}} = (2; - 1; - 1)$ .

Đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{_{Δ}} = (1; - 2; 2)$ .

Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{_{d}}$ .

Do $0 ° \leq (d, Δ) \leq 90 °$ mà theo giả thiết d tạo $∆$ góc lớn nhất nên $(d, Δ) = 90 ° \Rightarrow {\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{u}}_{Δ}$ .

Lại có $d // (P)$ nên ${\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{n}}_{(P)}$ . Do đó chọn ${\vec{u}}_{d} = [{\vec{u}}_{Δ}, {\vec{n}}_{(P)}] = (4; 5; 3)$ .

Vậy phương trình đường thẳng d là $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}$ .

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 1 = 0$ . Đường thẳng $∆$ đi qua $E (- 2; 1; - 2)$ , song song với $(P)$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (m; n; 1)$ , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính $T = m^{2} - n^{2}$ .

A. $T = - 5$ .

T = 4

T = 3

T = - 4

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; - 1; 2)$ ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{v} = (4; - 4; 3)$ .

$Δ // (P) \Rightarrow \vec{u} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow 2 m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2 m + 2$

Mặt khác ta có: $\cos (\hat{Δ; d}) = \frac{|\vec{u} . \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{|4 m - 4 n + 3|}{\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1} . \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2} + 3^{2}}}$

$= \frac{|4 m + 5|}{\sqrt{41 (5 m^{2} + 8 m + 5)}} = \frac{1}{\sqrt{41}} . \sqrt{\frac{{(4 m + 5)}^{2}}{5 m^{2} + 8 m + 5}} = \frac{1}{\sqrt{41}} . \sqrt{\frac{16 m^{2} + 40 m + 25}{5 m^{2} + 8 m + 5}}$

Vì $0 ° \leq (\hat{Δ, d}) \leq 90 °$ nên $(\hat{Δ, d})$ bé nhất khi và chỉ khi $\cos (\hat{Δ, d})$ lớn nhất.

Xét hàm số $f (t) = \frac{16 t^{2} + 40 t + 25}{5 t^{2} + 8 t + 5} \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{- 72 t^{2} - 90 t}{{(5 t^{2} + 8 t + 5)}^{2}}$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\max f (t) = f (0) = 5$ .

Suy ra $(\hat{Δ, d})$ bé nhất khi $m = 0 \Rightarrow n = 2$ .

Do đó $T = m^{2} - n^{2} = - 4$ .

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ và mặt phẳng $(α) : - x + 2 y - 3 z = 0$ . Gọi $φ$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(α)$ . Khi đó góc $φ$ bằng

A. $0 °$ .

45 °

90 °

60 °

Xem đáp án

Chọn C

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)

( 2.5 K lượt thi )

Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Thông hiểu)

( 2.1 K lượt thi )

Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Vận dụng)

( 2.1 K lượt thi )

Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án

( 3.1 K lượt thi )

200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian

( 13 K lượt thi )

200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian NC

( 11.9 K lượt thi )

60 câu trắc nghiệm: Hệ tọa độ trong không gian có đáp án

( 4.6 K lượt thi )

66 câu trắc nghiệm: Phương trình mặt phẳng có đáp án

( 4.1 K lượt thi )

Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án

( 3.7 K lượt thi )

Đánh giá trung bình

Thi Online Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng có đáp án