Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD. Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A

Suy ra DQ = QE = DE : 2

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF

Suy ra DQ = FN và DQ // FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó QN = DF = CD =CF

Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b

Đáp án cần chọn là: B

Xét tam giác ABD có: M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML // AB và ML = AB: 2 = 3. Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK // AB và IK = AB : 2 = 3. Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bồn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có: MI = $\frac{1}{2}$(AB + CD) = $\frac{1}{2}$(6 + 18) = 12

(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6

Xét tứ giác ABKL có: KL = AB ( = 6); KL // AB.

Do đó ABKL là hình bình hành.

Lại có: BL = $\frac{1}{2}$BD, AK = $\frac{1}{2}$AC

Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân)

Suy ra AK = BL

Xét hình bình hành ABKL có AK = KL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: A

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra AI = $\frac{1}{2}$QM

IH là đường trung bình của tam giác QMN nên IH = $\frac{1}{2}$MN, IH // MN

Tương tự KC = $\frac{1}{2}$NP, HK = $\frac{1}{2}$PQ, HK // PQ

Do đó AI + IH + HK + KC = $\frac{1}{2}$P_MNPQ

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có: AI + IH + HK + KC ≥ AC

Do đó P_MNPQ ≥ 2AC (không đổi)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hang theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với MN // AC // QP, QM // BD // NP hay MNPQ là hình bình hành

Theo định lý Pytago cho tam giác ACB vuông tại A ta có

AC² = AB² + BC² = AB² + AD² = a² + b² => AC = $\sqrt{a^2+b^2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là 2AC = 2 $\sqrt{a^2+b^2}$

Đáp án cần chọn là: C