200 Bài tập nguyên hàm tích phân cơ bản, nâng cao (P1)

Câu 1/25

Biết $\int f (x - 1) d x = \frac{x - 1}{x + 1}$ +c và $\int f (x + 1) d x = F (x) + c$ thì

Lời giải

Đáp án D.

$Ta có : \int f (x - 1) dx = \frac{x - 1}{x + 1} + C \Leftrightarrow f (x - 1) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2}{{[(x - 1) + 2]}^{2}} \Rightarrow f (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} \Rightarrow f (x + 1) = \frac{2}{{(x + 1 + 2)}^{2}} = \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} \Rightarrow \int f (x + 1) dx = \int \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} dx = \frac{- 2}{x + 3} + C \Rightarrow F (x) = \frac{- 2}{x + 3}$

Câu 2/25

Biết $\int \frac{\sin 4 x d x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} = F (x) + c$ . Khi đó

Lời giải

Đáp án B.

$\frac{\sin 4 x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} = \frac{2 \sin 2 x \cos 2 x}{1 - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x} = \frac{2 \sin 2 x \cos 2 x}{1 - 2 . \frac{1}{4} \sin^{2} 2 x} = \frac{4 \sin 2 x \cos 2 x}{2 - \sin^{2} 2 x} \Rightarrow \int \frac{\sin 4 x d x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} = \int \frac{4 \sin 2 x \cos 2 x d x}{2 - \sin^{2} 2 x} = I Đ ặ t 2 - \sin^{2} 2 x = t \Leftrightarrow - 4 \sin 2 x \cos 2 x d x = d t \Rightarrow I = \int \frac{- d t}{t} = - \ln |t| = - \ln |2 - \sin^{2} 2 x| = \ln |\frac{1}{2 - \sin^{2} 2 x}| = \ln |\frac{1}{\sin^{4} x + \cos^{4} x}| = \ln (\frac{1}{\sin^{4} x + \cos^{4} x}) (d o \frac{1}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} > 0)$

Câu 3/25

Biết $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2 .$ Tính $I = \int_{0}^{1} x f (x^{2}) d x .$

A. I=1.

B. I=4.

C. I= $\frac{1}{2}$

D. I=0.

Lời giải

Đáp án A.

$Đặt x^{2} = t \Leftrightarrow xdx = \frac{dt}{2} Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 0; x = 1 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow I = \int_{0}^{1} f (t) . \frac{1}{2} . d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2} . 2 = 1$

Câu 4/25

Biết $\int_{- 1}^{1} \cos a x . \cos b x = 1$ (a,b là hằng số). Tính I= $\int_{- 1}^{1} \frac{\cos a x . \cos b x}{e^{x} + 1} d x .$

A. I=2.

B. I=4.

C. I= $\frac{1}{2}$ .

D. I=1.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 5/25

Cho f(x) liên tục trên [-2;2] và $\int_{- 2}^{2} f (x) d x = \frac{π}{2}$ . Tính I= $\int_{- 2}^{2} [f (x) - f (- x)] d x .$

A. I= $π$

B. I= $\frac{π}{2}$

C. I= $\frac{π}{4}$

D. I=0.

Lời giải

Đáp án D.

$I = \int_{- 2}^{2} [f (x) - f (- x)] d x = \int_{- 2}^{2} f (x) d x - \int_{- 2}^{2} f (- x) d x = \frac{π}{2} - K Đặt - x = t \Leftrightarrow dx = - dt Đổi cận x = 2 \Rightarrow t = - 2; x = - 2 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow K = \int_{2}^{- 2} - f (t) d t = \int_{- 2}^{2} f (t) d t = \int_{- 2}^{2} f (x) d x = \frac{π}{2} \Rightarrow I = 0$

Câu 6/25

Cho (C): $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ quay quanh Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích V. Khi đó:

Lời giải

Đáp án C.

$x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1 \Leftrightarrow {(y - 2)}^{2} = 1 - x^{2} \Rightarrow Đ K : 1 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 + \sqrt{1 - x^{2}} \\ y = 2 - \sqrt{1 - x^{2}} \end{cases} \Rightarrow V = π \int_{- 1}^{1} [{(2 + \sqrt{1 - x^{2}})}^{2} - {(2 - \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}] d x = π \int_{- 1}^{1} 8 \sqrt{1 - x^{2}} d x = 8 π \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Câu 7/25

Cho D giới hạn bởi y=0, y = f(x) = $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ thì diện tích D được tính bởi:

Lời giải

Đáp án D.

$X é t P T : x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ x = 3 \\ x = 2 \end{cases} X é t d ấ u b i ể u t h ứ c f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 t a t h ấ y f (x) > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 2 v à f (x) < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3 \Rightarrow D = \int_{- 1}^{2} f (x) d x - \int_{2}^{3} f (x) d x$