Bài tập Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải (P6)

Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp mp\left(ABC\right)$, $SA=\frac{4a}{5}$, AB = AC = a, BC=$\frac{6a}{5}$. Gọi M là trung điểm của BC và α là góc giữa hai đường thẳng AC, SM. Tính cosα.

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng r và một hình nón có đỉnh là O đáy là hình tròn tâm O'. Biết diện tích xung quanh của hình nón bằng hai lần diện tích đáy của nó. Tính thể tích V của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đã cho.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng ${60}^0$. Tính thể tích V của khối chóp SABC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Biết rằng, thể tích của khối chóp S.ABCD bằng $2a^3$ và diện tích tam giác SAB bằng $a^2$. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SA và CD.

Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a.

Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. Gọi H là trung điểm BC. Quay tam giác đó xung quanh trục AH, ta được một hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón.

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB=2, $\stackrel{⏜}{ABC}={60}^0$. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của BC, góc giữa SA và mặt đáy bằng ${45}^0$. Tính thể tích V của khối chóp SABC.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên BCC'B' là hình vuông cạnh 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Từ một tấm tôn hình vuông cạnh 40cm, người ta làm thành 4 mặt xung quanh của một chiếc thùng có dạng hình hộp đứng đáy là hình vuông và có chiều cao là 40cm. Tính thể tích V của chiếc thùng.

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, AC=2a, SA vuông góc với đáy, SA=a. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.

Cho hình chóp A.BCD có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CD. Cắt hình chóp bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$song song với AB và CD. Tính diện tích S của thiết diện thu được, biết $d(B,(\alpha \left)\right)=\frac{a}{2}$ và $AB=a\sqrt{2}$.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AC=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$, $\stackrel{⏜}{BAC}={60}^0$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a$\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, $\stackrel{⏜}{ACB}$, b'c tạo với mặt phẳng AA'B'C' một góc ${30}^0$. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SAB đều cạnh a, tam giác BAC vuông cân tại A. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và SC.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Thể tích V của khối chóp SBCD là.

Cho lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm H của BC, góc giữa AA' và (ABC) bằng ${45}^0$. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCA'B'C'.

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC = ${120}^0$, BB' = a, I là trung điểm CC'. Gọi $\left(\alpha \right)$ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). Tính cos$\alpha$

Cho hình cầu đường kính AA' = 2a. Gọi H là một điểm nằm trên đoạn AA' sao cho AH=$\frac{4a}{3}$. Mặt phẳng (P) đi qua H và vuông góc với AA' cắt hình cầu theo đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn (C).

Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' biết AB=a, AD=2a, AC'=a$\sqrt{14}$.

Tính thể tích V của khối nón có chiều cao a$\sqrt{3}$, độ dài đường sinh bằng 2a.

Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy R, chiều cao $R\sqrt{2}$. Mặt phẳng (P) đi qua OO' cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tam giác đều SABC có chiều cao 2a cạnh bên bằng a. Tính thể tích V của khối chóp SABC.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Điểm M di động trên đoạn BD, điểm N di động trên đoạn AB'. Đặt BM=B'N=t. Đoạn MN bằng $\frac{a}{\sqrt{2}}$ khi t bằng

Cho khối trụ $\left(\mu \right)$ có bán kính đáy bằng 5 và có diện tích xung quanh bằng $30\pi$. Tính thể tích V của khối trụ $\left(\mu \right)$.

Từ một tấm tôn có kích thước 1m x 2m, người ta làm ra chiếc thùng đựng nước theo hai cách (xem hình minh họa dưới đây)

– Cách 1:  làm ra thùng hình trụ có chiều cao 1m, bằng cách gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

­­– Cách 2:  làm ra thùng hình hộp chữ nhật có chiều cao 1m, bằng cách chia tấm tôn ra thành 4 phần rồi gò thành các mặt bên của hình hộp chữ nhật.

Kí hiệu $V_1$ là thể tích của thùng được gò theo cách 1 và $V_2$ là thể tích của thùng được gò theo cách 2. Tính tỷ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D'có cạnh bằng a. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM=$\frac{1}{3}AB$. Tính khoảng cách h từ điểm C tới mặt phẳng (B'DM).

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng $a^3$. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và B'C'.

Cho hình nón đỉnh S, chiều cao S0=h, bán kính đáy bằng R. Gọi M là điểm nằm trên đoạn SO, đặt OM=x ($0<x<h$ Cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với SO, thiết diện thu được là đường tròn (C). Tìm x để thể tích của khối nón đỉnh O đáy là hình tròn giới hạn bởi (C) đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_2{C}_1{D}_1$ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của $B{B}_1, CD, A_1{D}_1$ Tính góc giữa hai đường thẳng MP và $C_{1}N$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có thể tích bằng $a^3$. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên và G là trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích V của khối tứ diện GMNP.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC=2a; $\stackrel{⏜}{ABC}={60}^0$. Gọi M là trung điểm của BC, SA=SC=SM=$a\sqrt{5}$. Tính khoảng cách từ điểm S tới mặt phẳng (ABC).

Cho tứ diện ABCD cạnh 2a. Tính thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=$a\sqrt{3}$ vuông góc với mặt đáy và mặt phẳng  (SBC) tạo với đáy một góc ${60}^0$. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho 5SM=2SC mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A, M và song song với đường thẳng BD cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại H, K. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{S.AHMK}}{V_{S.ABCD}}$?

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC. Gọi O là hình chiếu của S lên mặt đáy ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hai mặt phẳng cắt nhau $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$. M là một điểm nằm ngoài hai mặt phẳng trên. Qua M dựng được bao nhiêu mặt phẳng đồng thời vuông góc với $\left(\alpha \right)$và $\left(\beta \right)$?

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tứ diện S.ABC có các tam giác SAB, SAC và ABC vuông cân tại A, SA=a. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng ${45}^0$. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.