Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học có đáp án

a) Ta có ABCD là hình bình hành nên

AB = CD (tc hbh).

Mà E, F là trung điểm cuả AB và CD

=> AB = CF = BE = DF .

Xét tứ giác AECF, có $\left\{\begin{array}{l}AE=CF\\ AE\parallel CF(doAB\parallel CD)\end{array}\right.$

Xét $\Delta ADC$ có DO, AF là trung tuyến; $AF\cap DO=\left\{M\right\}$

=> M là trọng tâm của $\Delta ADC$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}DM=\frac{2}{3}DO=\frac{2}{3}BO\left(1\right)\\ OM=\frac{1}{3}DO=\frac{1}{3}BO\left(2\right)\end{array}\right.(doDO=BO)$

Xét $\Delta ABC$ có: BO, CE là trung tuyến, $BO\cap CE=\left\{N\right\}$

=> N là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BN=\frac{2}{3}BO\left(3\right)\\ ON=\frac{1}{3}BO\left(4\right)\end{array}\right.$

Từ (2) và (4) 

Từ (1); (3) và (5)

a) $AC\cap BD=\left\{O\right\}\Rightarrow DO=BO$

E, F là trung điểm của DO và BO nên: DE = EO = OF = FB

Xét tứ giác AFCE, có:

$\left\{\begin{array}{l}AC\cap EF=\left\{O\right\}\\ OA=OC\\ OE=OF\end{array}\right.$

=> AFCE là hình bình hành (dhnb)

Xét $\Delta DOM$ có OM // EK và  E là trung điểm của DO 

=> K là trung điểm của DM

=> DK = KM (1) 

Xét $\Delta CDK$ , có OM // AK và O là trung điểm của AC 

=> M là trung điểm của KC

=> CM = KM (2) 

Từ (1) và (2) => DK = KM = CM 

Mà KM + CM = KC

$\Rightarrow DK=\frac{1}{2}KC$(đpcm).