Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)

$B = \frac{x}{x + 2} - \frac{x^{2} + 8}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2} = \frac{x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x^{2} + 8}{x^{2} - 4} + \frac{3 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{x^{2} - 2 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3 x + 6}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x^{2} - 2 x - (x^{2} + 8) + 3 x + 6}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 8 + 3 x + 6}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$

= \frac{1}{x + 2}

(với x ≠ ±2)

c) Ta có: $A . B = \frac{2 x}{x - 1} . \frac{1}{x + 2} = \frac{2 x}{(x - 1) (x - 2)}$

Mà A.B = 1 nên $\frac{2 x}{(x - 1) (x - 2)} = 1$

Þ 2x = (x – 1)(x + 2) (vì x ≠ 1; x ≠ ±2)

Û 2x = x² + 2x – x – 2

Û 2x = x² + x – 2

Û x² + x – 2 – 2x = 0

Û x(x + 1) – 2 (1 + x) = 0

Û (x + 1)(x – 2) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 1 = 0 \\ x - 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix}$

Đối chiếu với điều kiện x ≠ 1; x ≠ ±2, ta thấy chỉ có x = – 1 thỏa mãn.

Vậy để A.B = 1 thì x = – 1.

Câu 2/5

Giải các phương trình sau:

a) 3(x – 1) – 7 = 5(x + 2);

b) $\frac{3 x + 1}{2} - \frac{x + 3}{5} = \frac{x}{10} + 2$ ;
c) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{x - 8}{x^{2} - 1}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) 3(x – 1) – 7 = 5(x + 2)

Û 3x – 3 – 7 = 5x + 10

Û 5x – 3x = – 3 – 7 – 10

Û 2x = – 20

Û x = (– 20) : 2

Û x = – 10

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {–10};

b) $\frac{3 x + 1}{2} - \frac{x + 3}{5} = \frac{x}{10} + 2$

$\Leftrightarrow \frac{5. (3 x + 1)}{5.2} - \frac{2. (x + 3)}{2.5} = \frac{x}{10} + \frac{2.10}{10} \Leftrightarrow \frac{15 x + 5}{10} - \frac{2 x + 6}{10} = \frac{x}{10} + \frac{20}{10}$

Û 15x + 5 – (2x + 6) = x + 20

Û 15x + 5 – 2x – 6 = x + 20

Û 15x – 2x – x = 20 – 5 + 6

Û 12x = 21

$\Leftrightarrow x = \frac{21}{12} \Leftrightarrow x = \frac{7}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

\{\frac{7}{4}\}

;

c) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{x - 8}{x^{2} - 1}$

Điều kiện xác định của phương trình:

$\{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \\ x^{2} - 1 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \\ (x - 1) (x + 1) \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq - 1 \\ x \neq 1 \end{matrix}$

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 8}{(x - 1) (x + 1)} \Leftrightarrow \frac{x^{2} - x - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x^{2} + x}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 8}{(x - 1) (x + 1)} \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x^{2} + x}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 8}{(x - 1) (x + 1)}$

Þ x² – 3x + 2 – (x² + x) = x – 8

Û x² – 3x + 2 – x² – x = x – 8

Û x² – x² – 3x– x – x = – 8 – 2

Û – 5x = – 10

Û 5x = 10

Û x = 10 : 5

Û x = 2 (thõa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S ={2}.

Câu 3/5

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một người dự định đi ô tô từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Nhưng thực tế người đó phải đến sớm hơn 30 phút để giải quyết công việc nên đã tăng tốc thêm 20 km/h so với dự định. Tính độ dài quãng đường từ A đến B.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (km) là độ dài quãng đường từ A đến B (x > 0).

Vì ban đầu người đó dự định đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h nên thời gian dự định đi hết quãng đường này là $\frac{x}{60}$ (h).

Trên thực tế người đó đã tăng tốc thêm 20 km/h nên vận tốc thực tế người đó đi từ A đến B là 60 + 20 = 80 (km/h).

Suy ra thời gian người đó đi hết quãng đường AB trên thực tế là $\frac{x}{80}$ (h).

Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ.

Vì trên thực tế người đó đến sớm hơn dự định ban đầu 30 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x}{60} - \frac{1}{2} = \frac{x}{80} \Leftrightarrow \frac{x .4}{60.4} - \frac{1.120}{2.120} = \frac{x .3}{80.3} \Leftrightarrow \frac{4 x}{240} - \frac{120}{240} = \frac{3 x}{240}$

Û 4x – 120 = 3x

Û 4x – 3x = 120

Û x = 120 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy độ dài quãng đường AB là 120 km.

Câu 4/5

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ tia phân giác $\hat{A B C}$ cắt AC tại D.

a) Biết BC = 5cm, AB = 3 cm. Tính AC và AD.

b) Qua D kẻ DH vuông góc với BC tại H. Chứng minh ∆ABC ∆HDC từ đó chứng minh CH.CB = CD.CA.

c) E là hình chiếu của A trên BC. Chứng minh $\frac{B C}{B A} = \frac{H C}{H E}$ .
d) O là giao điểm của BD và AH. Qua B kẻ đường thẳng song song với AH cắt các tia CO và CA lần lượt tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ tia phân giác gócABC cắt AC tại D a) Biết BC = 5cm, AB = 3cm, Tính AC và AD (ảnh 1)

a) Ta có ∆ABC vuông tại A nên ta có:

AB² + AC² = BC²( định lý Py – ta – go)

Þ AC² = BC² – AB² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

Þ AC = 4 (cm).

Xét ∆ABC có BD là tia phân giác của $\hat{A B C}$ (D Î AC)

Ta có: $\frac{A D}{D C} = \frac{B A}{B C}$ (định lý)

Mà DC = BC – AD = 5 – AD

$\Rightarrow \frac{A D}{5 - A D} = \frac{B A}{B C} = \frac{3}{5}$

Þ 5.AD = 3.(5 – AD)

Û 5AD = 15 – 3AD

Û 8AD = 15

Û AD = $\frac{15}{8}$ = 1,875 (cm)

Vậy độ dài đoạn AC là 4 cm và AD là 1,875 cm.

b) Theo đề ∆ABC vuông tại A nên có $\hat{B A C} = 90^{o}$ ;

DH vuông góc với BC tại H nên $\hat{D H C} = 90^{o}$ ;

Do đó $\hat{B A C} = \hat{D H C} = 90^{o}$ .

Xét ∆ABC và ∆HDC có:

$\hat{B C A}$ chung (giả thiết)

$\hat{B A C} = \hat{D H C} = 90^{o}$ (cmt)

Suy ra, ∆ABC $∽$ ∆HDC (g.g)

Vì ∆ABC $∽$ ∆HDC (cmt) nên $\frac{C H}{C A} = \frac{C D}{C B}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Þ CH.CB = CA.CD.

c) Vì E là hình chiếu của A trên BC nên (E Î BC).

DH vuông góc với BC tại H (H Î BC).

Suy ra DH // AE (định lý)

Áp dụng định lý Ta – let trong ∆AEC có DH // AE (cmt)

Ta có: $\frac{H C}{H E} = \frac{D C}{D A}$ (1);

Xét ∆ABC có BD là tia phân giác của $\hat{A B C}$ (D Î AC)

Ta có: $\frac{B C}{B A} = \frac{D C}{D A}$ (2);

Từ (1) và (2) suy ra

\frac{H C}{H E} = \frac{B C}{B A} = \frac{D C}{D A}

Câu 5/5

Cho phương trình $m = \frac{2 x + 1}{x - m}$ với m là tham số.
Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm duy nhất với số tự nhiên.

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình $m = \frac{2 x + 1}{x - m}$ là:

x – m ≠ 0 suy ra x ≠ m.

Ta có: $m = \frac{2 x + 1}{x - m}$

$\Leftrightarrow \frac{m (x - m)}{x - m} = \frac{2 x + 1}{x - m} \Leftrightarrow \frac{m x - m^{2}}{x - m} = \frac{2 x + 1}{x - m}$

Þ mx – m² = 2x + 1

Û mx – 2x = m² + 1

Û x(m – 2) = m² + 1

$\Leftrightarrow x = \frac{m^{2} + 1}{m - 2} \Leftrightarrow x = m + 2 + \frac{5}{m - 2}$

Nghiệm của phương trình đã cho $x = m + 2 + \frac{5}{m - 2}$ với m – 2 ≠ 0 Û m ≠ 2

Để x Î N khi đó m – 2 Î Ư(5) = { ± 1; ± 5} và $m + 2 + \frac{5}{m - 2} \geq 0$

Cho phương trình m = 2x+1/x-m với m là tham số. tìm các số nguyên m để phương trình (ảnh 1)

Vậy m = {1;5} thì phương trình đã cho co nghiệm duy nhất x = 10.

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hai biểu thức $A = \frac{2 x}{x - 1}$ và $B = \frac{x}{x + 2} - \frac{x^{2} + 8}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$ với x ≠ 1; x ≠ ±2

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3;

b) Rút gọn biểu thức B;
c) Tìm giá trị của x để A.B = 1.

Giải các phương trình sau:

a) 3(x – 1) – 7 = 5(x + 2);

b) $\frac{3 x + 1}{2} - \frac{x + 3}{5} = \frac{x}{10} + 2$ ;
c) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{x - 8}{x^{2} - 1}$ .