Dạng 6. Bài tập tự luyện có đáp án

+ Xét tam giác AHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến => HM = MA = MC .

+ Ta có: $\Delta MAH=\Delta BAH$ (c-g-c) => HM = HB

+ Xét tứ giác ABGM có: AB = BH = HM = MA => ABHM là hình thoi.

1) Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> $EF=\frac{1}{2}.AC$    (1)

Vì H là trung điểm của AD , G là trung điểm của DC

=> HG là đường trung bình của tam giác ADC

=> $HG=\frac{1}{2}.AC$   (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow EF=GH=\frac{1}{2}.AC$

2) ABCD là hình thang cân => AC = BD  (3)

$EF=GH=\frac{1}{2}.AC$                                 (4)

$EH=GF=\frac{1}{2}BD$                                (5)

Từ (3), (4), (5) => EF = GH = EH = GF

3) Vì E là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

=> EN là đường trung bình của tam giác ABC

=> $EN=\frac{1}{2}BC$     (6)

Vì G là trung điểm của CD, M là trung điểm của BD

=> GM là đường trung bình của tam giác BCD

=> $MG=\frac{1}{2}BC$     (7)

4) Chứng minh tương tự ta được $ME=NG=\frac{1}{2}AD$   (9)

ABCD là hình thang cân => AD = BC  (10)

Từ (8),(9),(10) => EN = MG = ME = NG

$\Delta ABE=\Delta ACF$ (cạnh huyền, góc nhọn)

=> AE = AF và BE = CF .

Vì H là trực tâm của $△$ABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.

Xét $△$EBC  có GN // BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC.

Chứng minh tương tự ta được MF = MB .

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nên tứ giác DNGM  là hình bình hành.

Mặt khác, DM = DN (cùng bằng $\frac{1}{2}$ của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi.

a)  Gọi H là giao điểm của EF và MB.

Ta có: AMND là hình bình hành (AM = ND và AM //  ND) => AD // NM.

Lại có AD // BC, nên suy ra MN // BC $\Rightarrow \widehat{MEH}=\widehat{HFB}$ .

Ta có: $\Delta EHM=\Delta FHB$ (cgv - gn) => HE = HF.

Mà $EF\perp AB$ nên  E và F đối xứng với nhau qua AB.