Dạng 5: Nhận biết hai tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ ba (g.g) để tính độ dài đoạn thẳng có đáp án

Gọi $A^{\text{'}}{D}^{\text{'}},AD$ là đường phân giác của các góc $\widehat{A^{\text{'}}}$ và $\widehat{A}$ thì $\widehat{{A_1}^{\text{'}}}=\widehat{{A_2}^{\text{'}}},\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$.

Từ giả thiết $\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$$\backsim$$\Delta ABC$ theo tỉ số k, suy ra $\widehat{A^{\text{'}}}=\widehat{A},\widehat{B^{\text{'}}}=\widehat{B},k=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}$.

Do đó $\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$$\backsim$$\Delta ABD$ (g.g) theo tỉ số đồng dạng $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=k$.

Vì $\left\{\begin{array}{c}\widehat{A}=\widehat{B_1}\\ \widehat{E_1}=\widehat{E_2}\end{array}\right.$$\Rightarrow \Delta BEF$$\backsim$$\Delta AED$ (g.g).                       

$AB\parallel CD\Rightarrow EB\parallel CD$$\Rightarrow \Delta FBE$$\backsim$$\Delta FCD$.

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{A}=\widehat{C}\\ \widehat{E_1}=\widehat{D_1}\end{array}\right.$$\Rightarrow \Delta AED$$\backsim$$\Delta CDF$ (g.g)

Như vậy có tất cả ba cặp tam giác đồng dạng như trên.

Từ câu a) $\Delta BEF$$\backsim$$\Delta AED$$\Rightarrow \frac{EF}{ED}=\frac{BF}{AD}=\frac{EB}{EA}$ hay

$\frac{EF}{10}=\frac{BF}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\Rightarrow EF=5\left(cm\right),BF=4\left(cm\right)$.

Từ giả thiết và tính chất về góc của tam giác vuông BCD, ta có: $\left\{\begin{array}{c}\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\\ \widehat{B_2}+\widehat{D_1}={90}^0\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{B_2}={90}^0\Rightarrow \widehat{EBD}={90}^0$, do $\widehat{ABC}$ là góc bẹt.

Vậy trong hình vẽ có ba tam giác vuông là $ABE,BCD$ và $EBD$.

Vì $\left\{\begin{array}{c}\widehat{A}=\widehat{C}\\ \widehat{B_1}=\widehat{D_1}\end{array}\right.$$\Rightarrow \Delta CDB$$\backsim$$\Delta ABE$ (g.g)

Suy ra $\frac{CD}{AB}=\frac{CB}{AE}$ hay $\frac{CD}{15}=\frac{10}{12}\iff CD=\frac{10.15}{12}\iff CD=18\left(cm\right)$.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác $ABE$ vuông ở A, ta được:

$B{E}^2=E{A}^2+A{B}^2$ hay $B{E}^2={10}^2+{15}^2=325\Rightarrow BE\approx 18,0\left(cm\right)$.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác BCD vuông ở C, ta được:

$B{D}^2=D{C}^2+C{B}^2$ hay $B{D}^2={18}^2+{12}^2=468\Rightarrow BD\approx 21,6\left(cm\right)$.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác EBD vuông ở B, ta được:

$E{D}^2=D{B}^2+B{E}^2$ hay $E{D}^2=325+468=793\Rightarrow ED\approx 28,2\left(cm\right)$.

$S_{BDE}=\frac{1}{2}BE.BD=\frac{1}{2}\sqrt{325}.\sqrt{468}=\frac{1}{2}\sqrt{152100}=195\left(c{m}^2\right)$.

$S_{AEB}+S_{BCD}=\frac{1}{2}15.10+\frac{1}{2}12.18=183\left(c{m}^2\right)$.

Vậy $S_{BDE}>S_{AEB}+S_{BCD}$.