Hướng dẫn giải:

Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong $\left(C\right):y=f\left(x\right)$  và $\left(C^{\text{'}}\right):y=g\left(x\right)$  là hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}\right.$  có nghiệm.

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+1>0,\forall x\in ℝ$  nên các phương án B, C bị loại.

Xét phương án A. $y=x+1$ . Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x+1=x+1\\ 3x^2+1=1\end{array}\right.\iff x=0$  .

Vậy đường thẳng $y=x+1$  tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.

Chọn A.

Đường thẳng $y=-2x+m$  tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$  khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

Vậy $m\in \left\{-1;7\right\}$  thì đường thẳng d tiếp xúc với (C).

Chọn A.

Hướng dẫn giải:

Để ($C_m$ ) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3-4m{x}^2+7mx-3m=x^2-x+1\\ 3x^2-8mx+7m=2x-1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^3-\left(4m+1\right)x^2+\left(7m+1\right)x-3m-1=0\left(1\right)\\ 3x^2-2\left(4m+1\right)x+7m+1=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải (1), ta có (1) $\iff \left(x-1\right)\left(x^2-4mx+3m+1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-4mx+3m+1=0\end{array}\right.$

+ Với $x=1$  thay vào (2) được $m=2$

+ Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4mx+3m+1=0\left(3\right)\\ 3x^2-2\left(4m+1\right)x+7m+1=0\end{array}\right.\Rightarrow \left(2m-1\right)x=m+1\left(4\right)$ .

• Nếu $m=\frac{1}{2}$  thì (4) vô nghiệm.

• Nếu $m\ne \frac{1}{2}$  thì (4) $\iff x=\frac{m+1}{2m-1}$ .                   

Thay $x=\frac{m+1}{2m-1}$  vào (3) ta được ${\left(\frac{m+1}{2m-1}\right)}^2-4m\left(\frac{m+1}{2m-1}\right)+3m+1=0$

$\iff 4m^3-11m^2+5m+2=0\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-\frac{1}{4}\\ m=1\end{array}\right.$(thỏa mãn điều kiện).

Vậy $S=\left\{2;-\frac{1}{4};1\right\}$  nên tổng các phần tử trong S bằng $\frac{11}{4}$ .

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)x^2+2mx+1=1\left(1\right)\\ x^2-\left(m+2\right)x+2m=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (2) ta được $\left[\begin{array}{l}x=m\\ x=2\end{array}\right.$  .

+ Với $x=m$ , thay vào (1) ta được  $-\frac{m^3}{6}+m^2=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=6\end{array}\right.$.

+ Với $x=2$  , thay vào (1), ta được $m=\frac{2}{3}$ .

Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng $y=1$  là $S=\left\{0;6;\frac{2}{3}\right\}$  nên tổng các phần tử trong S bằng $\frac{20}{3}$ .

Chọn B.

Hướng dẫn giải:

Vì (C) tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên $x=0$  là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+a{x}^2+bx+c=0\\ 3x^2+2ax+b=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b=0\\ c=0\end{array}\right.$

Mặt khác (C) đi qua điểm $A\left(1;3\right)$  nên $a+b+c+1=3\Rightarrow a=2$ .

Vậy $a+2b+3c=2.$

Chọn B.