Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 5)

16333 lượt thi
64 câu hỏi
120 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90(cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là.

Xem đáp án

Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác (ảnh 2)

Gọi I là trung điểm của BC. Suy ra I là trung điểm của MN. Đặt $M N = x, (0 < x < 90) .$

Khi đó ta có: $\frac{MQ}{AI} = \frac{BM}{BI} \Leftrightarrow MQ = \frac{\sqrt{3}}{2} (90 - x) .$ Gọi R là bán kính của hình trụ $\Rightarrow R = \frac{x}{2 π} .$

Thể tích của khối trụ là: $V = π {(\frac{x}{2π})}^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} (90 - x) = \frac{\sqrt{3}}{8 π} (- x^{3} + 90 x^{2}) .$

Xét $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{8 π} (- x^{3} + 90 x^{2}),$ với $0 < x < 90.$ Suy ra

$f^{'} (x) = \frac{\sqrt{3}}{8 π} (- 3 x^{2} + 180 x) \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 60 \end{array} .$

Do đó $max_{x \in (0; 90)} f (x) = f (60) = \frac{13500. \sqrt{3}}{π} .$

Câu 2:

Ngày mùng 3 tháng 3 năm 2015 anh A vay ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất kép là $0, 6 % /$ tháng theo thể thức như sau: Đúng ngày mùng 3 hàng tháng kể từ một tháng sau khi vay, ngân hàng sẽ tính số tiền nợ của anh bằng số tiền nợ tháng trước cộng với tiền lãi của số tiền nợ đó. Sau khi vay, anh A trả nợ như sau: Đúng ngày mùng 3 hàng tháng kể từ một tháng sau khi vay anh A đều đến trả ngân hàng 3 triệu đồng. Tính số tháng mà anh A trả được hết nợ ngân hàng, kể từ một tháng sau khi vay. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình vay.

Xem đáp án

Sử dụng tổng cấp số nhân, ta có công thức sau: $a = \frac{N . y^{n} (y - 1)}{y^{n} - 1} .$

Trong đó với N là số tiền vay, $y = 1 + m %, m %$ là lãi suất hàng tháng), a là số tiền trả hàng tháng và n là số tháng.

Khi đó: $3 = \frac{50. y^{n} (y - 1)}{y^{n} - 1} \Leftrightarrow 3. (1, 006^{n} - 1) = 0, 3.1, 006^{n}$

$\Leftrightarrow 1, 006^{n} = \frac{10}{9} \Rightarrow n \approx 18.$

Vậy anh A mất 18 tháng thì sẽ trả hết nợ cho ngân hàng.

Câu 3:

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có độ dài bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, $C^{'} D^{'}$ và DD' Tính thể tích khối tứ diện MNPQ.

Xem đáp án

Ta có hình vẽ sau:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB (ảnh 1)

Khi đó ta có: $V_{M N P Q} = \frac{1}{2} V_{P . M N E} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} .1. S_{M N E} .$

Do $M N // A C; M E // B D$ nên ta có:

$M N ⊥ M E; M N = \frac{\sqrt{2}}{2}; M E = \sqrt{2} .$

Vì vậy $S_{M N E} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{M N P Q} = \frac{1}{12} .$

Câu 4:

Cho các hình sau thì có bao nhiêu hình là đa diện lồi?

Xem đáp án

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi.

Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

Vậy theo định nghĩa trên thì chỉ có 1 hình là đa diện lồi.

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, $B C = 2 a,$ SA vuông góc với đáy, SA= a, I thuộc cạnh SB sao cho $S I = \frac{1}{3} S B, J$ thuộc cạnh BC sao cho $J B = J C .$ Tính thể tích khối tứ diện ACIJ ?

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BC=2a, SA vuông góc (ảnh 1)

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên ta có $A C = 2 a \Rightarrow A B = a \sqrt{2} .$

Đồng thời $d (I; (A B C)) = \frac{2}{3} d (S; (A B C))$ do $(\frac{I B}{B S} = \frac{2}{3}) .$

Suy ra $V_{I . A B C} = \frac{2}{3} V_{S . A B C} .$ Mặt khác: $S_{Δ A J C} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C}$ (do J là trung điểm của BC).

Ta có: $V_{A I J C} = V_{I A J C} = \frac{1}{2} V_{I A B C} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} . V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{9} a . \frac{1}{2} A B^{2} = \frac{a^{3}}{9} .$

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án