Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bà Rịa - Vũng Tàu có đáp án

a)   Ta có \({x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 - x = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 4\).

Cách 2: Ta có \(a + b + c = 0\) nên phương trình có một nghiệm \({x_1} = 1\) và nghiệm \({x_2} = \frac{c}{a} = 4\).

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 4\).

b)   Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\3x - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 4\\3x - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\3 - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\).

c)   Ta có \(P = \sqrt {20}  - 3\sqrt {45}  + \frac{{\sqrt {55} }}{{\sqrt {11} }} = 2\sqrt 5  - 3.3\sqrt 5  + \frac{{\sqrt 5 .\sqrt {11} }}{{\sqrt {11} }} = 2\sqrt 5  - 9\sqrt 5  + \sqrt 5  =  - 6\sqrt 5 \)

Vậy \(P =  - 6\sqrt 5 \)

a)   Ta có bảng giá trị sau

Do đó \((P)\) đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1; - 1} \right),B\left( {2; - 4} \right),C\left( { - 1; - 1} \right)\) và \(D\left( { - 2; - 4} \right)\)

Parabol có bề lõm quay xuống dưới, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Vẽ

b)   Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \({x^2} + 3x - m = 0\), biệt thức \(\Delta  = 9 + 4m\).

Parabol và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{9}{4}\).

Lúc này các hoành độ giao điểm là \({x_1},{x_2}\) theo định lý Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} =  - 3;{x_1}{x_2} =  - m\)

Yêu cầu bài toán \(5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} \Leftrightarrow  - 15 = 1 - {\left( { - m} \right)^2} \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow m =  \pm 4\)

Đối chiếu điều kiện chọn \(m = 4\).

a)   Gọi \(x,y{\rm{ }}(m)\) là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lúc đầu (\(x,y > 0)\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = y + 15\\\left( {y - 5} \right)x = 300\end{array} \right.\)

Ta có phương trình \(\left( {y - 5} \right)\left( {y + 15} \right) = 300 \Leftrightarrow {y^2} + 10y - 375 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 15\\y =  - 25\end{array} \right.\), chọn \(y = 15\) suy ra \(x = 30\).

Vậy chiều dài và chiều rộng lúc đầu của mảnh đất là \(20m\) và \(15m\).

b)   Ta biến đổi \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 4}  + {x^2} + 2x + 4 - 6 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} \), \(\left( {t > 0} \right)\) ta suy ra phương trình \({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 3\end{array} \right.\) chọn \(t = 2\)

Với \(t = 2\) ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = 2\).

Ta có \(a + {b^3} = 29 \Leftrightarrow a = 29 - {b^3}\) do đó \(P = {a^2} + {b^4} - 19 = {\left( {29 - {b^3}} \right)^2} + {b^4} - 19 = {b^6} + {b^4} - 58{b^3} + 822\)

Ta có \(P = {b^6} + {b^4} - 58{b^3} + 822 = {b^6} + {b^4} - 58{b^3} + 756 + 66\) \( = {\left( {b - 3} \right)^2}.\left( {{b^4} + 6{b^3} + 28{b^2} + 56b + 84} \right) + 66\)

Do \({b^4} + 6{b^3} + 28{b^2} + 56b + 84 > 0,\forall b > 0\) nên \(P = {\left( {b - 3} \right)^2}.\left( {{b^4} + 6{b^3} + 28{b^2} + 56b + 84} \right) + 66 \ge 66\)

Dấu bằng xảy ra khi \(b = 3\).

Vậy \(\min P = 66\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\).

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho \(n\) số dương tổng quát ta có \({a^2} + 4 \ge 4a\) và

\({b^4} + {b^4} + {b^4} + {3^4} \ge 4.\sqrt[4]{{{{\left( {{b^4}} \right)}^3}{{.3}^4}}} = 12{b^3}\) suy ra \(3{b^4} + 81 \ge 12{b^3}\) hay \({b^4} + 27 \ge 4{b^3}\)

Do đó \({a^2} + {b^4} + 31 \ge 4a + 4{b^3} = 116\) hay \(P = {a^2} + {b^4} - 19 \ge 66\)

Dấu bằng xảy ra ở các BĐT trên là \(a = 2\) và \(b = 3\).

Vậy \(\min P = 66\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\).