Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 39)

16279 lượt thi
47 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Tìm x để P² > P biết \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện xác định x ≥ 0, x ≠ 1

Vì P² > P

+) Với P > 1

+) Với P < 0

Suy ra \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} < 0\)

Mà \(\sqrt x + 1 > 0\)

Suy ra \(\sqrt x - 1 < 0\)

Hay \(\sqrt x < 1\)

Mà x ≥ 0, x ≠ 1

Suy ra 0 ≤ x < 1

Vậy để P² > P thì 0 ≤ x < 1 hoặc x > 1.

Câu 2:

Cho biểu thức:

\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{9\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x - 6}}\) và \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4.

a) Tính giá trị biểu thức B khi x = 9.

b) Rút gọn A.

c) Chứng minh rằng khi A > 0 thì B ≥ 3.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay x = 9 (thỏa mãn) vào B ta có

\(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{9 - \sqrt 9 + 1}}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{{9 - 3 + 1}}{{3 - 1}} = \frac{7}{2}\).

b) Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4, ta có

\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{9\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x - 6}}\)

\(A = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\left( {\sqrt x - 2} \right) - 9\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x + 4\sqrt x + 3 + 2\sqrt x - 4 - 9\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x - 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}\).

c) Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4, ta có:

A > 0 \[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} > 0\]

\( \Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0\) (vì \(\sqrt x + 3 > 0\))

\( \Leftrightarrow \sqrt x > 1\)

⇔ x > 1

Ta có \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)

Do \(\sqrt x > 1\) nên \(\sqrt x - 1 > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có

\(B = \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 1 \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} + 1 = 2 + 1 = 3\)

Dấu “ = ” xảy ra khi \(\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 1\) (do \(\sqrt x - 1 > 0\))

Û x = 4 (thỏa mãn).

Vậy khi A > 0 thì B ≥ 3.

Câu 3:

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và lớn hơn 65 000?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số cần lập là \(\overline {abcde} \) (0 ≤ a, b, c, d, e ≤ 9; a ≠ 0; a, b, c, d, e ∈ ℕ)

+) Nếu a = 6, b = 5

Chọn tùy ý các chữ số c, d, e trong 9 chữ số đã cho ta luôn được số thỏa mãn trừ trường hợp c = d = e = 0.

Số số lập được là: 9³ – 1 = 728 số

+) Nếu a = 6, b ∈ {6; 8; 9}

Chọn tùy ý các chữ số c, d, e trong 9 chữ số đã cho ta luôn được số thỏa mãn

Số số lập được là: 3 . 9³ = 2 187 số

+) Nếu a ∈ {8; 9}

Chọn tùy ý các chữ số b, c, d, e trong 9 chữ số đã cho ta luôn được số thỏa mãn

Số số lập được là: 2 . 9⁴ = 13 122 số

Vậy số các số lập được thỏa mãn đề bài là 728 + 2 187 + 13 122 = 16 037 số.

Câu 4:

Sử dụng 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 7, 8 để tạo thành các số lẻ có 4 chữ số. Hỏi có thể tạo ra được bao nhiêu số khác nhau?

Xem đáp án

Lời giải

Vì là số lẻ nên chữ số cuối cùng là số 7

Vì số đứng đầu phải khác 0 nên ta có 4 cách chọn

Có 4 cách chọn cho số thứ 2 và 3 cách chọn chỗ số thứ 3

Vậy có 4 × 4 × 3 = 48 số có thể tạo ra thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 5:

Giải phương trình: \[cos7x.cos5x--\sqrt 3 sin2x = 1--sin7x.sin5x\].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

\[cos7x.cos5x--\sqrt 3 sin2x = 1--sin7x.sin5x\]

\[ \Leftrightarrow cos7x.cos5x + sin7x.sin5x--\sqrt 3 sin2x = 1\]

\[ \Leftrightarrow cos\left( {7x - 5x} \right)--\sqrt 3 sin2x = 1\]

\[ \Leftrightarrow cos2x--\sqrt 3 sin2x = 1\]

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}co{\rm{s2x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2{\rm{x = }}\frac{1}{2}\)

\[ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\frac{\pi }{3}cos2{\rm{x}} - \sin \frac{\pi }{3}\sin 2{\rm{x}} = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{3} + 2{\rm{x}}} \right) = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} + 2{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{3} + 2{\rm{x}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = k\pi \\{\rm{x}} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \[{\rm{x}} = k\pi ;{\rm{x}} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án