Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An có đáp án

a) Ta biến đổi phương trình như sau

\[\]\({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0\)\(\left( {v\`i \,\,{x^2} - 2x + 3 = {{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2 > 2 > 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \,x \in \,\left\{ {1 + \sqrt 2 ,1 - \sqrt 2 } \right\}\)

Như vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S\, = \,\left\{ {1 + \sqrt 2 ,1 - \sqrt 2 } \right\}\)

b) Điều kiện xác định: \(x + y\,\, \ge \,\,0,\,2y - {x^2} + 2x\,\, \ge \,0\)

Trước hết ta có biến đổi sau

\(2x - \sqrt {x + y}  = \sqrt {2y - {x^2} + 2x}  \Leftrightarrow {\left( {2x - \sqrt {x + y} } \right)^2} = 2y - {x^2} + 2x\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x\sqrt {x + y}  + x + y = 2y - {x^2} + 2x\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 4x\sqrt {x + y}  - \left( {x + y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5x\left( {x - \sqrt {x + y} } \right) + \sqrt {x + y} \left( {x - \sqrt {x + y} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt {x + y} } \right)\left( {5x = \sqrt {x + y} } \right) = 0\)

Lúc này, ta xét hai trường hợp sau

o   Trường hợp 1. \(x - \sqrt {x + y}  = 0\,\)suy ra \(x = \sqrt {x + y} \left( {x\,\, \ge 0} \right)\)

Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

\(\left( {2 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  = 2\sqrt 3 x \Leftrightarrow {\left( {2 - x} \right)^2}\left( {{x^2} + 4} \right) = 12{x^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) = 12{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} - 4{x^3} - 16x + 4{x^2} + 16 = 12{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} - 4{x^2} - 16x + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4 = 0\left( {v\`i \,\,{x^2} + 2x + 2 = {{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1 > 1 > 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow x \in \left\{ {3 - \sqrt 5 ,\,3 + \sqrt 5 } \right\}\)

Để ý điều kiện \(0 \le x \le 2\) nên \(x = 3 + \sqrt 5 \) loại suy ra \(x = 3 - \sqrt 5 \)

Khi đó, thay vào biểu thức ta được \(3 - \sqrt 5  = \sqrt {3 - \sqrt 5  + y} \) suy ra \(y = 11 - 5\sqrt 5 \)

Thử lại, ta thấy nghiệm trên thỏa mãn

o   Trường hợp 2. \(5x + \sqrt {x + y}  = 0\) suy ra \(\sqrt {x + y}  =  - 5x\left( {x \le 0} \right)\)

Thay vào phương trình đầu của hệ, ta có

\(7x = \sqrt {2y - {x^2} + 2x} \)

Từ đây kết hợp \(x \le 0\) suy ra \(x = y = 0\). Thử lại, ta thấy nghiệm trên không thỏa

Như vậy, tất cả các nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x,y} \right)\, = \,\left\{ {3 - \sqrt 5 ,\,11 - 5\sqrt 5 } \right\}\)

a) Theo giả thiết ta có thể đặt như sau \(x + \sqrt {2024}  = a,\,\frac{1}{x} - \sqrt {2024}  = b\) thì \(a,b \in \mathbb{Z}\)

Bằng các phép biến đổi ta được

     \(\left( {a - \sqrt {2024} } \right)\left( {b + \sqrt {2024} } \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2024} \left( {a - b} \right) = 2025 - ab\)

Vì \(\sqrt {2024} \) vô tỷ và a – b, 2025 – ab nguyên nên a = b và 2025 = ab suy ra \(a = b =  \pm 45\)

Khi đó bằng phép thế ta được

\(x + \sqrt {2024}  = a =  \pm 45 \Leftrightarrow x \in \left\{ {45 - \sqrt {2024} ,\, - 45 - \sqrt {2024} } \right\}\)

Vậy tất cả giá trị x thỏa mãn là \(x \in \left\{ {45 - \sqrt {2024} ,\, - 45 - \sqrt {2024} } \right\}\)

b) Theo giả thiết \(2a = {b^3}\,\left( 1 \right)\) và \(5a = {c^2}\,\left( 2 \right)\) với b,c là các số nguyên dương.

Từ (1) suy ra \({b^3}\) chia hết cho 2, mà 2 là số nguyên tố nên b chia hết cho 2.

Đặt b = 2d, thay vào (1) được \(2a = 8{d^3}\), hay là \(a = 4{d^3}\,\left( 3 \right)\).

Từ (2) suy ra \({c^2}\) chia hết cho 5, mà 5 là số nguyên tố nên c chia hết cho 5

Đặt c = 5e, thay vào (2) được \(5a = 25{e^2}\), hay là \(a = 5{e^2}\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) có \(a = 4{d^3} = 5{e^2}\,\left( 5 \right)\) với d,e là các số nguyên dương. Do 4 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (5) thì \({d^3}\) chia hết cho 5, suy ra d chia hết cho 5

Đặt d = 5k, thay vào (5) được \(a = 5{e^2} = 500{k^3}\) với k là số nguyên dương

Từ đó \({e^2} = 100{k^3} = {10^2}{k^3}\). Điều này xảy ra với số k nhỏ nhất là k = 1, e = 10 và a = 500

Lúc đó \(2a = 1000 = {10^3}\) và \(5a = 2500 = {50^2}\) thỏa mãn bài toán

Vậy số nguyên dương a nhỏ nhất thỏa mãn là a – 500

Bằng các phép biến đổi giả thiết, ta có

\(3\left( {a + b + c} \right) = {a^2} + 4{b^2} + {c^2} + 2ab + 12 - 12b\)

\( = {\left( {a + b} \right)^2} + {c^2} + 3{\left( {b - 2} \right)^2}\, \ge \,{\left( {a + b} \right)^2} + {c^2}\)

Bằng biến đổi bất đẳng thức kết hợp cộng mẫu, ta được

\(3\left( {a + b + c} \right)\, \ge \,{\left( {a + b} \right)^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{2}\)

Do đó \(a + b + c\, \le \,6\) suy ra \({\left( {a + b} \right)^2} + {c^2} \le 18\). Khi đó, bằng các phép biến đổi ta có

\(T\, = \,\frac{{{a^3}}}{{a + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\, + \,\frac{{{a^2}}}{{a + {c^2}}}\, \ge \,\frac{{{a^2}}}{{a + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{a + {c^2}}}\)

\( \ge \,\frac{{4{a^2}}}{{2a + {{\left( {a + b} \right)}^2} + {c^2}}}\)

\( \ge \,\frac{{4{a^2}}}{{2a + 18}} = \frac{{2{a^2}}}{{a + 9}}\, \ge \,\frac{{2{a^2}}}{{10a}} = \frac{a}{5} \ge \frac{1}{5}\)

Từ đây ta được \(MinT = \,\frac{1}{5}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {a,b,c} \right)\, = \,\left( {1,2,3} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\, = \,\frac{1}{5}\)