Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 42)

16331 lượt thi
48 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Tính độ dài AD biết AH = 14 cm, BH = HC = 30 cm.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi H’ là điểm đối xứng H qua BC.

Suy ra D là trung điểm của HH’

Vì tam giác ABC cân tại A, AD là đường cao nên AD là trung tuyến

Suy ra D là trung điểm của BC

Xét tứ giác BHCH’ có

D là trung điểm của HH’ và BC;

BC và HH’ là hai đường chéo

Suy ra BHCH’ là hình bình hành.

Mà BH = CH nên hình bình hành BHCH’ là hình thoi

Do đó BH’ // CH, BH = BH’.

Lại có CH ⊥ AB (vì H là trực tâm của tam giác ABC) nên BH’⊥ AB

Hay tam giác ABH’ vuông tại B

Mà BD ⊥ AH’

Suy ra H’B² = H’D . H’A

⇔ HB² = HD . (2HD + HA)

⇔ 30² = HD . (2HD + 14)

⇔ 2HD² + 14HD – 900 = 0

⇔ (HD + 25)(HD – 18) = 0

⇔ HD – 18 = 0 (vì HD > 0)

⇔ HD = 18

Ta có AD = AH + HD = 14 + 18 = 32 cm

Vậy AD = 32 cm.

Câu 2:

Cho tứ giác MNPQ gọi R, S, T, V theo tứ tự là trung điểm của MN, NP, PQ, QM.
a) Chứng minh rằng RSTV là hình bình hành.

b) Nếu MP vuông góc với NQ thì RQTV là hình gì?

Xem đáp án

Lời giải

• Xét ΔMNQ có: R, V lần lượt là trung điểm của MN, MQ

Do đó RV là đường trung bình của ΔMNQ

Suy ra RV // NQ và \(RV = \frac{1}{2}NQ\) (1)

• Xét ΔNPQ có: T, S lần lượt là trung điểm của QP, NP

Do đó TS là đường trung bình của ΔNPQ

Suy ra TS // NQ và \(T{\rm{S}} = \frac{1}{2}NQ\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra RV // TS và RV = TS

Do đó RSTV là hình bình hành.

b) Xét ΔMNP có: R, S lần lượt là trung điểm MN, NP

Suy ra RS là đường trung bình của ΔMNP

Do đó RS // MP

Mà MP ⊥ NQ, nên RS ⊥ NQ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Lại có ST // NQ

Suy ra RS ⊥ ST hay \(\widehat {RST} = 90^\circ \).

Xét hình bình hành RSTV có \(\widehat {RST} = 90^\circ \)

Suy ra RSTV là hình chữ nhật

Vậy nếu MP vuông góc với NQ thì RQTV là hình chữ nhật.

Câu 3:

Chứng minh \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 3 \).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2\sqrt 3 .1 + {1^2} = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}\)

Vậy \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 3 \).

Câu 4:

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos3x + sin2x – sin4x = 0.

A. \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\];

B. \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\];

C. \[{\rm{x}} = \frac{{k\pi }}{3}\] hoặc \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \] hoặc \[{\rm{x}} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\];

D. \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\] hoặc \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 5:

Giải phương trình lượng giác \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}3x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}4x = \frac{3}{2}\].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}3x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}4x = \frac{3}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^2}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}3x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}4x - 3 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi \\2{\rm{x}} = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{5} + k\pi \\{\rm{x}} = \frac{{2\pi }}{5} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có cos4x = 0 \( \Leftrightarrow 4{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{x}} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy \[{\rm{x}} \in \left\{ {\frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4};\frac{\pi }{5} + k\pi ;\frac{{2\pi }}{5} + k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\].

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án