Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 10

Gọi số quả bóng màu vàng là \(x\) (quả), đk: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)

        Tổng số bóng trong hộp là \(10 + x\) (quả)

        Xác suất của biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là \(\frac{{10}}{{10 + x}}\)

        Theo bài ra: \(\frac{{10}}{{10 + x}} = 0,4\) hay \(10 + x = 25 \Rightarrow x = 15\) (t/m)

        Vậy có 15 quả bóng màu vàng.

1) Thay \(x = 16\) (thoả mãn đk) vào biểu thức \[A\] ta được: \(A = \frac{{16 - 9}}{{16 - 3\sqrt {16} }} = \frac{7}{4}\).

2) Với \(x > 0;x \ne 9\) ta có: \[B = \frac{{x + 3}}{{x - 9}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\]

\[ = \frac{{x + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]\[ = \frac{{x + 3 + \sqrt x  + 3 + 2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\( = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9\) . (đpcm)

3) Ta có: \[P = A.B = \frac{{x - 9}}{{x - 3\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\]

Do đó: \[P < 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} < 1\]

\[\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} - 1 < 0\]

\[\frac{6}{{\sqrt x  - 3}} < 0\]

\[\sqrt x  - 3 < 0\]

\[0 < x < 9\]

Do \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}\) thì \(P < 1\)

Tổng số học sinh dự thi của hai trường X và Y là: \(420:84\%  = 500\)

              Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số học sinh hai trường X và Y (\(x\); \(y\) nguyên dương, \(x\); \(y < 420\))

              Vì số học sinh dự thi của 2 trường là 500 học sinh nên ta có phương trình \(x + y = 500\)                                                        \(\left( 1 \right)\)

              Tỉ lệ đạu lớp 10 của riêng trường X là 80%, trường Y là 90% nên ta có phương trình:  \(0,8x + 0,9y = 420\)\(\left( 2 \right)\)

              Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\0,8x + 0,9y = 420\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 200\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

              Vậy trường X có \(300\) học sinh tham gia dự thi và trường Y là\(200\) học sinh dự thi.

Gọi khoảng cách từ \(E\) đến \(AB,AD\) lần lượt là \(EH,EK.\)

  Đặt \(KN = x\left( m \right)\), đk: \(x > 0\)

  Hai tam giác vuông \(KEN,HME\) đồng dạng nên \[\frac{{KE}}{{KN}} = \frac{{HM}}{{HE}} \Rightarrow \frac{{12}}{x} = \frac{{HM}}{5} \Rightarrow HM = \frac{{60}}{x}\left( m \right)\]

            Diện tích tam giác \(AMN\) là:

                        \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN = \frac{1}{2}.\left( {12 + \frac{{60}}{x}} \right).\left( {5 + x} \right) = \left( {6 + \frac{{30}}{x}} \right).\left( {5 + x} \right)\)

                         \[30 + 6x + \frac{{150}}{x} + 30 = 60 + 6x + \frac{{150}}{x} \ge 60 + 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} = \]120

Dấu “=” xảy ra khi

\[6x = \frac{{150}}{x}\]

\[{x^2} = 25\]

\[x = 5\].

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao \(AMN\) mà anh Thịnh có thể quây được là \(120{m^2}\)..