Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 26)

16338 lượt thi
63 câu hỏi
50 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Chứng minh hằng đẳng thức:

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a).

Xem đáp án

Biến đổi vế trái:

(a + b + c)³ = [(a + b) + c]³

= (a + b)³ + 3(a + b)²c + 3(a +b)c² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a² + 2ab + b²)c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc²

= a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab²) + (3a²c + 3abc) + (3abc + 3bc²) + (3ac² + 3bc²)

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + c) + 3c²(a + b)

= a³ + b³ + c³ + (a + b)(3ab + 3ac + 3bc + 3c²)

= a³ + b³ + c³ + (a + b)[(3ab + 3ac) + (3bc + 3c²)]

= a³ + b³ + c³ + (a + b)[3a(b + c) + 3c(b + c)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)

Câu 2:

Chứng minh: a³ + b³ + c³ = 3abc biết a + b + c = 0.

Xem đáp án

Ta có: A = a³ + b³ + c³ – 3abc

= (a³ + b³) + c³ – 3abc

= (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ – 3abc

= [(a + b)³ + c³] – [3ab(a + b) – 3abc]

= (a + b + c)[(a + b)² – (a + b)c + c²] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)

Mà a + b + c = 0 nên suy ra:

A = 0 \[ \Rightarrow \]a³ + b³ + c³ – 3abc = 0

\( \Leftrightarrow \) a³ + b³ + c³ = 3abc (đpcm).

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f '(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên khoảng:

A. (1; 3);

B. x > 3;

C. x < −2;

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có \({\left( {f\left( {2 - x} \right)} \right)^\prime } = {\left( {2 - x} \right)^\prime }.f'\left( {2 - x} \right) = - f'\left( {2 - x} \right)\).

Hàm số đồng biến khi \(\left( {f\left( {2 - x} \right)} \right)' > 0\)

\( \Leftrightarrow f'(2 - x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x < - 1\\1 < 2 - x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\ - 2 < x < 1\end{array} \right.\).

Câu 4:

Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có An và Bình, đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để An và Bình đứng cạnh nhau là:

A. \(\frac{2}{5}\);

B. \(\frac{1}{{10}}\);

C. \(\frac{1}{5}\);

D. \(\frac{1}{4}\).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Xét ngẫu nhiên 10 học sinh thành một hàng có 10! cách ⇒ n(Ω) = 10!

Gọi biến cố “Xếp 10 học sinh thành một hàng sao cho An và Bình đứng cạnh nhau”.

Xem An và Bình là nhóm X.

Xếp X và 8 học sinh còn lại có 9! (cách).

Hoán vị An và Bình trong X có 2! (cách).

Vậy có 9!2! cách ⇒ n(A) = 9!2!

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{9!2!}}{{10!}} = \frac{{9!2}}{{10.9!}} = \frac{1}{5}\).

Câu 5:

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có An và 5 học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?

A. 16.(4!)²;

B. 16.8!;

C. 32.(4!)²;

D. 32.8!.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Xếp 10 học sinh sao có nam nữ ngồi xen kẽ.

Xếp 5 học sinh nam có 5! cách, xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách.

Đổi chỗ nam và nữ có 2 cách.

Suy ra có 2.(5!)² cách xếp 10 học sinh sao có nam nữ ngồi xen kẽ.

* Xếp 8 học sinh không có An và Bình trước:

• TH1:

+ Học sinh nam đứng đầu hàng, có (4!)² cách.

+ Xếp An và Bình vào 1 trong 9 vị trí gồm 7 vị trí giữa 2 học sinh liền kề nhau và 2 vị trí biên. Ứng với mỗi vị trí có 1 cách xếp An và Bình sao cho thỏa mãn yêu cầu, do đó có 9 cách xếp.

Vậy có 9.(4!)² cách.

• TH2:

+ Học sinh nữ đứng đầu hàng, tương tự TH1 có 9.(4!)² (cách).

Suy ra số cách xếp 10 học sinh xen kẽ mà An luôn cạnh Bình là 2.9.(4!)² (cách).
Vậy số cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình là:
2.(5!)² – 2.9.(4!)² = 2.5.5.(4!)² – 18.(4!)² = 32.(4!)² (cách)

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án