Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 7)

15864 lượt thi
122 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho hàm số $y = m x + 3 (d_{1})$ và $y = - \frac{x}{m} + 3 (d_{2})$ . Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Xem đáp án

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

$m x + 3 = - \frac{x}{m} + 3 \Leftrightarrow m x = - \frac{x}{m} \Leftrightarrow m x + \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow x (m + \frac{1}{m}) = 0 \Rightarrow x = 0$

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0 $\Leftrightarrow x = - \frac{3}{m}$

Khi đó, tọa độ của điểm B là $B (- \frac{3}{m}; 0)$

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

$- \frac{x}{m} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 m$

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là $- \frac{1}{m}$ có $m . (- \frac{1}{m}) = - 1$ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là $\frac{1}{2} A B . A C$

Ta có: $A B = \sqrt{{(- \frac{3}{m})}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + 1} = 3 \sqrt{\frac{1 + m^{2}}{m^{2}}};$

$A C = \sqrt{{(3 m)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{m^{2} + 1}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{\frac{1 + m^{2}}{m^{2}}} \cdot 3 \sqrt{m^{2} + 1} = \frac{9 (m^{2} + 1)}{2 |m|} = \frac{9}{2} (|m| + \frac{1}{|m|})$

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương $|m|$ và $\frac{1}{|m|}$ ta có:

$\frac{1}{2} A B . A C = \frac{9}{2} (|m| + \frac{1}{|m|}) \geq \frac{9}{2} \cdot 2 \sqrt{|m| \cdot \frac{1}{|m|}} = 9$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $|m| = \frac{1}{|m|}$

$\Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Câu 2:

Cho hai đường thẳng $(D_{1}) : y = \frac{1}{2} x + 2$ và $(D_{2}) : y = - x + 2$

Gọi A và B theo thứ tự giao điểm của (D₁) và (D₂) với các trục hoành, C là giao điểm của hai đường thẳng đó (đơn vị trên các trục tọa độ là centimet).

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Số đo góc ∆ABC là:

\hat{A} = 26 ° 33', \hat{B} = 45 °, \hat{C} = 108 ° 27'

B. Chu vi ∆ABC bằng 5,6 cm

C. Diện tích ∆ABC bằng 6 cm²

Xem đáp án

Chọn B

Cho hai đường thẳng d1 y = 1/2 x + 2 và d2 y = -x + 2 Gọi A và B theo thứ tự giao điểm của (D1) và (D2) với các trục hoành, C là giao điểm của hai đường thẳng đó (đơn vị trên các trục tọa độ là centimet). (ảnh 1)

• Vì A là giao điểm của (D₁) với trục hoành nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2} x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 4$

Khi đó, tọa độ của điểm A là A(– 4, 0).

=> OA = 8 (cm)

• Vì B là giao điểm của (D₂) với trục hoành nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình:

– x + 2 = 0 Û x = 2

Khi đó, tọa độ của điểm B là B(2, 0).

=> OB = 2 (cm)

• Vì C là giao điểm của hai đường thẳng (D₁) và (D₂) nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2} x + 2 = - x + 2 \Leftrightarrow x = 0$

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(0; 2).

=> OC = 2 (cm)

Xét khẳng định A.

$\tan A = \frac{O C}{O A} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A} = 26 ° 33' . \tan B = \frac{O C}{O B} = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow \hat{B} = 45 ° .$

Do đó $\hat{C} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{B}) = 180 ° - (26 ° 33' + 45 °) = 108 ° 27' .$

Vậy khẳng định A đúng.

Xét khẳng định B.

Ta có AB = 6 (cm).

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

AC² = OA² + OC² = 4² + 2² = 20

$\Rightarrow A C = \sqrt{20} = 4, 47 (c m) .$

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

BC² = OB² + OC² = 2² + 2² = 8

$\Rightarrow B C = \sqrt{8} = 2, 83 (c m) .$

Chu vi tam giác ABC là:

P_∆A_BC= AB + AC + BC = 6 + 4,47 + 2,83 = 13,3 (cm).

Vậy khẳng định B sai.

Xét khẳng định C.

Diện tích tam giác ABC là: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . O C = \frac{1}{2} .6.2 = 6 (c m^{2})$

Vậy khẳng định C đúng.

Câu 3:

Chứng minh: $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{63} + \frac{1}{64} > 4$

Xem đáp án

Ta có:

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{63} + \frac{1}{64} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + \cdot \cdot \cdot + (\frac{1}{33} + \frac{1}{34} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{64}) > 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + \cdot \cdot \cdot + (\frac{1}{64} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{64}) = 1 + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{8} + 8 \cdot \frac{1}{16} + 16 \cdot \frac{1}{32} + 32 \cdot \frac{1}{64} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4$

Vậy $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{63} + \frac{1}{64} > 4$

Câu 4:

Tìm m để hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 2 m + 3}}{x - m} + \frac{3 x - 1}{\sqrt{- x + m + 5}}$ xác định trên khoảng (0; 1)?

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} x - 2 m + 3 \geq 0 \\ x - m \neq 0 \\ - x + m + 5 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 2 m - 3 \\ x \neq m \\ x \leq m + 5 \end{cases}$

=> TXĐ: $D = [2 m - 3; m + 5] \ \{m\}$

Để hàm số xác định trên khoảng (0; 1) thì (0; 1) là con của $D = [2 m - 3; m + 5] \ \{m\}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m - 3 \leq 0 \\ m + 5 \geq 1 \\ [\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq \frac{3}{2} \\ m \geq - 4 \\ [\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} m \leq \frac{3}{2} \\ m \geq - 4 \\ m \leq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} m \leq \frac{3}{2} \\ m \geq - 4 \\ m \geq 1 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 4 \leq m \leq 0 \\ 1 \leq m \leq \frac{3}{2} \end{array}$

Vậy $m \in [- 4; 0] \cup [1; \frac{3}{2}] .$

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \sqrt{x - m + 1} + \frac{2 x}{\sqrt{- x + 2 m}}$ xác định trên khoảng (−1; 3).

A. Không có giá trị m thỏa mãn;

B. m ≥ 2;

C. m ≥ 3;

D. m ≥ 1.

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện: $\{\begin{cases} x - m + 1 \geq 0 \\ - x + 2 m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq m - 1 \\ x < 2 m \end{cases}$

=> TXĐ: $D = [m - 1; 2 m]$

Để hàm số xác định trên khoảng (−1; 3) thì (−1; 3) là con của $D = [m - 1; 2 m]$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 1 \leq - 1 \\ 2 m \geq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 0 \\ m \geq \frac{3}{2} \end{cases}$

Vậy không có giá trị của m nào thỏa mãn.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án