Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 75)

16369 lượt thi
66 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho hình chữ nhật ABCD có M là điểm thuộc cạnh AB sao cho \(AM = \frac{1}{4}AB = 3cm.\) Tìm điểm N trên cạnh DC sao cho diện tích hình MBCN gấp đôi diện tích hình MNDA.

Xem đáp án

Cho hình chữ nhật ABCD có M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM = 1/4 AB = 3 (ảnh 1)

• Vì ABCD là hình chữ nhật ⇒ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB\parallel CD;BC\parallel AD}\\{AB = CD;BC = AD}\end{array}} \right..\)

• Vì AM // CN ⇒ MNDA là hình thang.

• Vì BM // ND ⇒ MBCN là hình thang.

Ta có \(AM = \frac{1}{4}AB = 3cm\) ⇒ AB = 12cm.

Ta có \({S_{MBCN}} = \frac{1}{2}BC\left( {CN + MB} \right);{S_{MNDA}} = \frac{1}{2}AD\left( {AM + DN} \right).\)

Vì diện tích hình thang MBCN gấp đôi diện tích hình thang MNDA

⇒ \({S_{MBCN}} = 2{S_{MNDA}}\)

⇔ \(\frac{1}{2}BC\left( {CN + MB} \right) = 2.\frac{1}{2}AD\left( {AM + DN} \right)\)

⇔ BC(CN + MB) = 2AD(AM + DN)

⇔ CN + MB = 2(AM + DN) (vì BC = AD)

⇔ CD – DN + AB – AM = 2AM + 2DN

⇔ 2AB = 3AM + 3DN

⇔ 2.12 = 3.3 + 3DN

⇔ 3DN = 15

⇔ DN = 5 cm.

Vậy để diện tích hình MBCN gấp đôi diện tích hình MNDA thì điểm N thuộc cạnh DC sao cho DN = 5 cm.

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho \(AM = \frac{{AC}}{4},\) N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tìm mệnh đề đúng?

A. Tam giác BMN là tam giác vuông;

B. Tam giác BMN là tam giác cân;

C. Tam giác BMN là tam giác đều;

D. Tam giác BMN là tam giác vuông cân.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = AC/4 (ảnh 1)

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec x;\,\,\overrightarrow {AD} = \vec y\)

Vì ABCD là hình vuông nên AB và AD vuông góc với nhau và AB = AD

⇒ \(\vec x.\vec y = 0;\,\,{\vec x^2} = {\vec y^2}\)

Khi đó:

\(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\left( {3\vec x - \vec y} \right);\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\left( {\vec x + 3\vec y} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = \frac{1}{{16}}\left( {3\vec x - \vec y} \right)\left( {\vec x + 3\vec y} \right)\)

\( = \frac{1}{{16}}\left( {3{{\vec x}^2} - 3{{\vec y}^2} + 8\vec x.\vec y} \right) = 0\)

Mặt khác:

\({\overrightarrow {MB} ^2} = \frac{1}{{16}}{\left( {3\vec x - \vec y} \right)^2} = \frac{5}{8}{\vec y^2};{\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{1}{{16}}{\left( {\vec x + 3\vec y} \right)^2} = \frac{5}{8}{\vec y^2}.\)

Vậy tam giác BMN vuông cân tại M.

Câu 3:

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt d tại E và cắt đường thẳng OC tại D. Gọi F là giao điểm của BD và d. Tiếp tuyến tại B cắt ED tại K. Chứng minh BK = EF.

Xem đáp án

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Gọi (ảnh 1)

Kẻ DD’ ⊥ d (D’ ∈ d)

Ta có: OC // d (do cùng vuông góc với AB)

⇒ \(\widehat {DFD'} = \widehat {BDO}\)

Xét \(\Delta D'DF\) và \(\Delta OBD\) có:

\(\widehat {FD'D} = \widehat {DOB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

D’D = OB \(\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\)

\(\widehat {DFD'} = \widehat {BDO}\)

⇒ \(\Delta D'DF = \Delta OBD\left( {g.c.g} \right)\)

⇒ DB = DF (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta DKB\) và \(\Delta DEF\) có:

\(\widehat {KDB} = \widehat {EDF}\)(đối đỉnh)

DB = DF (cmt)

\(\widehat {KBD} = \widehat {EFD}\) (góc so le trong do BK // d)

Do đó \(\Delta DKB = \Delta DEF\left( {g.c.g} \right)\)

⇒ BK = EF (2 cạnh tương ứng)(đpcm).

Câu 4:

Cho đa thức bậc ba P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x² + 2 dư 2x − 1, chia cho x²+ x dư 16x − 11. Tính P(100).

Xem đáp án

Ta có: P(x) chia cho x² + 2 dư 2x – 1

⇒ P(x) = Q(x).(x² + 2) + 2x – 1 (với Q(x) là đa thức bậc nhất)

⇒ P(x) = (ax + b)(x² + 2) + 2x – 1

Vì P(x) chia x² + x dư 16x – 11

⇒ P(x) – 16x + 11 chia hết cho x² + x.

Đặt R(x) = P(x) – 16x + 11

Khi đó R(x) = (ax + b)(x² + 2) – 14x + 10 chia hết cho x² + x

Vì thế hai nghiệm x = 0 và x = −1 của x² + x cũng là nghiệm của R(x), tức là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a.0 + b} \right)\left( {0 + 2} \right) - 14.0 + 10 = 0}\\{\left( { - a + b} \right)\left( {1 + 2} \right) - 14.\left( { - 1} \right) + 10 = 0}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = - 5}\end{array}} \right.\)

⇒ P(x) = (3x – 5)(x² + 2) + 2x – 1

Vậy P(100) = 2905789.

Câu 5:

Cho đa thức bậc 2 có dạng P(x) = ax² + bx + c biết rằng P(x) thỏa mãn 2 điều kiện sau: P(0) = −2 và 4P(x) – P(2x – 1) = 6x – 6. Chứng minh rằng a + b + c = 0 và xác định đa thức P(x).

Xem đáp án

Ta có P(0) = −2 ⇒ a.0 + b.0 + c = −2 ⇒ c = −2

Ta có 4P(x) – P(2x – 1) = 6x – 6

⇔ 4(ax² + bx + c) – [a(2x – 1)² + b(2x – 1) + c] = 6x – 6

⇔ 4ax² + 4bx + 4c – a(4x² – 4x + 1) – 2bx + b – c = 6x – 6

⇔ 4ax² + 4bx + 4c – 4ax² + 4ax – a – 2bx + b – c = 6x – 6

⇔ 4ax + 2bx + (−a + b + 3c) = 6x – 6

⇔ (4a + 2b)x + (−a + b + 3c) = 6x – 6

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 2b = 6}\\{ - a + b + 3c = - 6}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 2b = 6}\\{ - a + b = - 6 - 3.\left( { - 2} \right)}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 2b = 6}\\{ - a + b = 0}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: a + b + c = 1 + 1 + (−2) = 0 (đpcm)

Vậy P(x) = x² + x – 2.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án