Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 12)

16784 lượt thi
79 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

4x² – 8xy + 4y²;

Xem đáp án

Lời giải

4x² – 8xy + 4y²

= 4(x² – 2xy + y²)

= 4(x – y)².

Câu 2:

Cho (O) và điểm I bên ngoài (O). Từ I vẽ một cát tuyến IAB với (O). Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. AB cắt OM tại H.

a) Chứng minh: MA² = MH.MO.

b) Từ M kẻ ME vuông góc OI tại E cắt (O) tại D và AB tại K. Chứng minh: IE.IO = IH.IK.

c) Chứng minh: ID là tiếp tuyến (O).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.

Suy ra MA = MB.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)

Lại có OA = OB = R.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)

Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó MO ⊥ AB tại H và H là trung điểm AB.

Ta có MA là tiếp tuyến của (O).

Suy ra \(\widehat {AOM} = 90^\circ \).

Xét ∆AOM vuông tại A có AH là đường cao:

MA² = MH.MO (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

b) Xét ∆IEK và ∆IHO, có:

\(\widehat {IEK} = \widehat {IHO} = 90^\circ \).

\(\widehat I\) chung.

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{IE}}{{IH}} = \frac{{IK}}{{IO}}\).

Do đó IE.IO = IH.IK.

c) Xét ∆OEM và ∆OHI, có:

\(\widehat {OEM} = \widehat {OHI} = 90^\circ \).

\(\widehat O\) chung.

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OM}}{{OI}}\).

Do đó OE.OI = OM.OH.

Xét ∆AOM vuông tại A có AH là đường cao:

OA² = OH.OM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Suy ra OE.OI = OA².

Mà OA = OD = R.

Do đó OE.OI = OD².

Xét ∆ODI và ∆OED, có:

\(\frac{{OD}}{{OE}} = \frac{{OI}}{{OD}}\) (OE.OI = OD²).

\(\widehat O\) chung.

Do đó (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ODI} = \widehat {OED} = 90^\circ \).

Do đó OD ⊥ DI.

Vậy ID là tiếp tuyến của (O).

Câu 3:

Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB). Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.

a) Chứng minh K là trung điểm của AB.

b) Vẽ MH ⊥ OI tại H. Chứng minh OB² = OH.OI.

c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.

Suy ra MA = MB.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)

Lại có OA = OB = R.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)

Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó MO ⊥ AB tại K và K là trung điểm AB.

b) Xét ∆OHM và ∆OKI, có:

\(\widehat O\) chung.

\(\widehat {OHM} = \widehat {OKI} = 90^\circ \).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OM}}{{OI}}\).

Do đó OH.OI = OM.OK.

Xét ∆AOM vuông tại A có AK là đường cao:

OA² = OK.OM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy OH.OI = OA² = OB² (điều phải chứng minh).

c) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) (giả thiết)

Suy ra O, A, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tương tự, ta có O, H, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Khi đó tứ giác AHOM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {AHI}\) (1)

Ta có \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \) (MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Suy ra \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 180^\circ \).

Do đó tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Vì vậy \(\widehat {AMO} = \widehat {ABO}\) (cùng chắn ) (2)

Từ (1), (2), suy ra \(\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\).

Xét ∆IHN và ∆IKO, có:

\(\widehat I\) chung.

\(\widehat {IHN} = \widehat {IKO} = 90^\circ \).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{IH}}{{IK}} = \frac{{IN}}{{IO}}\).

Do đó IH.IO = IN.IK (3)

Xét ∆AHI và ∆OBI, có:

\(\widehat I\) chung.

\(\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{IA}}{{IO}} = \frac{{IH}}{{IB}}\).

Do đó IA.IB = IH.IO (4)

Từ (3), (4), suy ra IA.IB = IN.IK (điều phải chứng minh).

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; 3), B(2; –1), C(–1; 5). Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C. Khi đó giá trị của k là

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;2} \right),\,\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4} \right)\)

Theo đề, ta có \({V_{\left( {A,k} \right)}}\left( B \right) = C\).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AB} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 2k\\2 = - 4k\end{array} \right. \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(k = - \frac{1}{2}\).

Câu 5:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; –3), B(2; 1), D(5; 5). Tìm tọa độ điểm C để tứ giác ABCD là hình bình hành.

A. C(3; 1);

B. C(–3; –1);

C. C(7; 9);

D. C(–7; –9).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Gọi C(x; y).

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;4} \right)\], \(\overrightarrow {DC} = \left( {x - 5;y - 5} \right)\).

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = x - 5\\4 = y - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 9\end{array} \right.\)

⇒ tọa độ C(7; 9).

Vậy ta chọn phương án C.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án