Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 18)

16313 lượt thi
79 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho hàm số \[y = mx + 3\;\left( {{d_1}} \right)\] và \(y = - \frac{x}{m} + 3\;\left( {{d_2}} \right)\). Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

\(mx + 3 = - \frac{x}{m} + 3 \Leftrightarrow mx = - \frac{x}{m}\)

\( \Leftrightarrow mx + \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow x\left( {m + \frac{1}{m}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow x = 0\)

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0 \[ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{m}\].

Khi đó, tọa độ của điểm B là \(B\left( { - \frac{3}{m};\;0} \right)\).

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

\( - \frac{x}{m} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3m\).

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là \( - \frac{1}{m}\) có \(m.\left( { - \frac{1}{m}} \right) = - 1\) nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là \(\frac{1}{2}AB.AC\).

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{3}{m}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + 1} = 3\sqrt {\frac{{1 + {m^2}}}{{{m^2}}}} \);

\[AC = \sqrt {{{\left( {3m} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {{m^2} + 1} \]

\( \Rightarrow \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt {\frac{{1 + {m^2}}}{{{m^2}}}} \cdot 3\sqrt {{m^2} + 1} = \frac{{9\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{2\left| m \right|}} = \frac{9}{2}\left( {\left| m \right| + \frac{1}{{\left| m \right|}}} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương \(\left| m \right|\) và \(\frac{1}{{\left| m \right|}}\) ta có:

\(\frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2}\left( {\left| m \right| + \frac{1}{{\left| m \right|}}} \right) \ge \frac{9}{2} \cdot 2\sqrt {\left| m \right| \cdot \frac{1}{{\left| m \right|}}} = 9\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left| m \right| = \frac{1}{{\left| m \right|}}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Câu 2:

Cho hai đường thẳng \(\left( {{D_1}} \right):y = \frac{1}{2}x + 2\) và \(\left( {{D_2}} \right):y = - x + 2\)

Gọi A và B theo thứ tự giao điểm của (D₁) và (D₂) với các trục hoành, C là giao điểm của hai đường thẳng đó (đơn vị trên các trục tọa độ là centimet).

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Số đo góc ∆ABC là: \(\widehat A = 26^\circ 33',\;\widehat B = 45^\circ ,\;\widehat C = 108^\circ 27'\);

B. Chu vi ∆ABC bằng 5,6 cm;

C. Diện tích ∆ABC bằng 6 cm².

Xem đáp án

Lời giải

• Vì A là giao điểm của (D₁) với trục hoành nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình:

\(\frac{1}{2}x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 4\)

Khi đó, tọa độ của điểm A là A(– 4, 0).

Þ OA = 8 (cm)

• Vì B là giao điểm của (D₂) với trục hoành nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình:

– x + 2 = 0 Û x = 2

Khi đó, tọa độ của điểm B là B(2, 0).

Þ OB = 2 (cm)

• Vì C là giao điểm của hai đường thẳng (D₁) và (D₂) nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình:

\(\frac{1}{2}x + 2 = - x + 2 \Leftrightarrow x = 0\)

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(0; 2).

Þ OC = 2 (cm)

Xét khẳng định A.

\(\tan A = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat A = 26^\circ 33'.\)

\(\tan B = \frac{{OC}}{{OB}} = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow \widehat B = 45^\circ .\)

Do đó \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {26^\circ 33' + 45^\circ } \right) = 108^\circ 27'.\)

Vậy khẳng định A đúng.

Xét khẳng định B.

Ta có AB = 6 (cm).

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

AC² = OA² + OC² = 4² + 2² = 20

\( \Rightarrow AC = \sqrt {20} = 4,47\;\left( {cm} \right).\)

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

BC² = OB² + OC² = 2² + 2² = 8

\( \Rightarrow BC = \sqrt 8 = 2,83\;\left( {cm} \right).\)

Chu vi tam giác ABC là:

P_∆ABC = AB + AC + BC

= 6 + 4,47 + 2,83 = 13,3 (cm).

Vậy khẳng định B sai.

Xét khẳng định C.

Diện tích tam giác ABC là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.OC = \frac{1}{2}.6.2 = 6\;\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy khẳng định C đúng.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 3:

Chứng minh: \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{64}} > 4\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

\(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{64}}\)

\( = 1 + \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + \cdot \cdot \cdot + \left( {\frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{64}}} \right)\)

\( > 1 + \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}} \right) + \cdot \cdot \cdot + \left( {\frac{1}{{64}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{64}}} \right)\)

\( = 1 + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{8} + 8 \cdot \frac{1}{{16}} + 16 \cdot \frac{1}{{32}} + 32 \cdot \frac{1}{{64}}\)

\( = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4\)

Vậy \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{64}} > 4\).

Câu 4:

Tìm m để hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 2m + 3} }}{{x - m}} + \frac{{3x - 1}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng (0; 1)?

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2m + 3 \ge 0}\\{x - m \ne 0}\\{ - x + m + 5 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2m - 3}\\{x \ne m}\\{x \le m + 5}\end{array}} \right.\]

Þ TXĐ: \(D = \left[ {2m - 3;\;m + 5} \right]\backslash \left\{ m \right\}\)

Để hàm số xác định trên khoảng (0; 1) thì (0; 1) là con của \(D = \left[ {2m - 3;\;m + 5} \right]\backslash \left\{ m \right\}\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \le 0\\m + 5 \ge 1\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{3}{2}\\m \ge - 4\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{3}{2}}\\{m \ge - 4}\\{m \le 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{3}{2}}\\{m \ge - 4}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4 \le m \le 0}\\{1 \le m \le \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m \in \left[ { - 4;\;0} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right].\)

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

\(y = \sqrt {x - m + 1} + \frac{{2x}}{{\sqrt { - x + 2m} }}\) xác định trên khoảng (−1; 3).

A. Không có giá trị m thỏa mãn;

B. m ≥ 2;

C. m ≥ 3;

D. m ≥ 1.

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - m + 1 \ge 0}\\{ - x + 2m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge m - 1}\\{x < 2m}\end{array}} \right.\]

Þ TXĐ: \(D = \left[ {m - 1;\;2m} \right]\)

Để hàm số xác định trên khoảng (−1; 3) thì (−1; 3) là con của \(D = \left[ {m - 1;\;2m} \right]\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le - 1\\2m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \frac{3}{2}\end{array} \right.\]

Vậy không có giá trị của m nào thỏa mãn.

Vậy ta chọn đáp án A.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án