Cho đường tròn (0;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau (ảnh 1)

a, do \[AB \bot CD\]tại O nên \[\widehat {POD} = \widehat {BOC} = \widehat {AOC} = {90^0}(1)\]

Xét (O) có \[\widehat {MCD} = {90^0} \Rightarrow DM \bot PC\]TẠI M \[ \Rightarrow \widehat {PMD} = {90^0}\]

Xét tứ giác OMPD có \[ \Rightarrow \widehat {POD} = \widehat {PMD} = {90^0} \Rightarrow \]TỨ giác OMPD nội tiếp .

b, từ (1) \[ \Rightarrow \] \[\widehat {BOJ} = {90^0}\]

XÉT (O) có \[\widehat {AMB} = {90^0}\](GOCs nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \[\Delta \]BOJ VÀ \[\Delta \]BMA có :

\[\widehat {B{\rm{OJ}}} = \widehat {BMA} = {90^0}\]

\[\widehat {{\rm{OBJ}}} = \widehat {MBA}\](góc chung)

Do đó \[\Delta B{\rm{OJ}} \sim \Delta BMA\left( {g.g} \right)\] \[ \Rightarrow \frac{{BJ}}{{BO}} = \frac{{BA}}{{BM}} \Rightarrow BJ.BM = BO.BA = R.2R = 2{R^2}\]

c, XÉT (O) có \[\widehat {BMD} = \widehat {BAC}\]( TÍNH CHẤT góc nội tiếp) \[ \Rightarrow \widehat {IMQ} = \widehat {IAQ}\]

\[ \Rightarrow \]tứ giác AMIQ nội tiếp

\[ \Rightarrow \] \[\widehat {IAQ} + \widehat {AMI} = {180^0} \Rightarrow \widehat {IAQ} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \widehat {IAQ} = {90^0}\]

XÉT \[\Delta AOC\]Có \[\widehat {AOC} = {90^0};OA = OC = R \Rightarrow \Delta AOC\]vuông cân tại O

\[ \Rightarrow \widehat {OAC} = {45^0} \Rightarrow \widehat {IAQ} = {45^0}\]

Xét \[\Delta AQI\]có \[\widehat {AQI} = {90^0};\widehat {IAQ} = {45^0} \Rightarrow \Delta AQI\]vuông cân tại Q

d, tứ giác AOJM nội tiếp nên \[\widehat {MIC} = \widehat {MAQ}\]mà \[\widehat {AMQ} = \widehat {CMB}\](tính chất góc nội tiếp)

do đó \[\Delta MJC \sim \Delta MAQ(g.g) \Rightarrow \frac{{MJ}}{{MC}} = \frac{{MA}}{{MQ}} \Rightarrow MJ.MQ = MA.MC\]

\[{S_{MQJ}} = \frac{1}{2}MJ.MQ.\sin \widehat {MQJ} = \frac{1}{2}MA.MC.\sin {45^0} \le \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\frac{{{{\left( {MA + MC} \right)}^2}}}{4}\]

Gọi X là điểm chính giữa của cung nhỏ AC \[ \Rightarrow \]MA+MC\[ \le \]XA+XC(không đổi)

\[{S_{MQJ}} \le \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\frac{{{{\left( {XA + XC} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{R^2}\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{2}\](không đổi)

Dấu bằng xảy ra khi \[M \equiv X\]\[ \Rightarrow \]M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

Vậy \[\max {S_{MQJ}} = \frac{{{R^2}\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{2}\]. Khi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học